Em um teste de um “aparelho para g”, um voluntário gira em um círculo horizontal de raio igual a
. Qual é o período da rotação para que a aceleração centrípeta possua módulo de
?
Passo 1
O enunciado pede o período da rotação para que a aceleração centrípeta tenha módulo igual a
. As informações dadas são:
- raio do círculo:
(peguei do enunciado); - módulo da aceleração centrípeta desejada:
(peguei do enunciado); - valor da aceleração da gravidade que vou usar:
(valor padrão).
A pergunta é: qual é o período
da rotação?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar — explicadinhas, sem pressa:
- A aceleração centrípeta (módulo) para um corpo que se move em velocidade tangencial
em trajetória circular de raio é dada por
Aqui:
-
é a aceleração centrípeta (módulo), em ; -
é a velocidade tangencial (m/s); -
é o raio do círculo (m). -
O período
é o tempo que o corpo leva para completar uma volta. A relação entre velocidade tangencial e período é
Explicação: em uma volta o deslocamento ao longo da circunferência é
; dividindo esse comprimento pelo tempo da volta
obtém-se a velocidade constante
.
Passo 3
Combino as duas fórmulas substituindo
na fórmula de
. Primeiro escrevo
em termos de
:
Agora isolo
. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Tomando raiz quadrada:
Essa é a fórmula prática que vou usar: dado o raio
e a aceleração centrípeta
, o período é
.
Passo 4
Agora substituo os valores numéricos, passo a passo e de forma que dê para fazer na prova sem calculadora se quiser usar simplificações exatas.
- Primeiro calcule
em :
- Calculo a razão
:
Para simplificar, multiplico numerador e denominador por
:
Dividindo numerador e denominador por
obtém-se a fração simples
- Agora a raiz quadrada:
(para cálculo rápido:
, e nosso número é um pouco menor que
, então a raiz fica um pouco menor que
, cerca de
.)
- Finalmente multiplico por
:
Aqui usei
e
. Arredondei para três algarismos significativos, coerente com os dados iniciais.
Passo 5
Interpretação curta e ânimo: o período de aproximadamente
significa que, para que a aceleração centrípeta seja três vezes a gravidade, o voluntário deve completar cada volta em cerca de três segundos. Tá meio rápido, mas nada impossível — e você fez direitinho o raciocínio físico e algébrico!