Em um teste de um “aparelho para g”, um voluntário gira em um círculo horizontal de raio igual a 7,0 \mathrm{~m}. Qual é o período da rotação para que a aceleração centrípeta possua módulo de
3,0 \mathrm{~g} ?

Passo 1

O enunciado pede o período da rotação para que a aceleração centrípeta tenha módulo igual a 3,0\\ g. As informações dadas são:
  • raio do círculo: r = 7,0\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado);
  • módulo da aceleração centrípeta desejada: a_c = 3,0\,g (peguei do enunciado);
  • valor da aceleração da gravidade que vou usar: g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
A pergunta é: qual é o período T da rotação?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar — explicadinhas, sem pressa:
  • A aceleração centrípeta (módulo) para um corpo que se move em velocidade tangencial v em trajetória circular de raio r é dada por
a_c = \frac{v^2}{r}.
Aqui:
  • a_c é a aceleração centrípeta (módulo), em \mathrm{m/s^2};
  • v é a velocidade tangencial (m/s);
  • r é o raio do círculo (m).
  • O período T é o tempo que o corpo leva para completar uma volta. A relação entre velocidade tangencial e período é
v = \frac{2\pi r}{T}.
Explicação: em uma volta o deslocamento ao longo da circunferência é 2\pi r; dividindo esse comprimento pelo tempo da volta T obtém-se a velocidade constante v.

Passo 3

Combino as duas fórmulas substituindo v na fórmula de a_c. Primeiro escrevo a_c em termos de T:
a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{\left(\dfrac{2\pi r}{T}\right)^2}{r} = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2}\cdot\frac{1}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}.
Agora isolo T. Multiplicando ambos os lados por T^2 e dividindo por a_c:
T^2 = \frac{4\pi^2 r}{a_c}.
Tomando raiz quadrada:
T = 2\pi\sqrt{\frac{r}{a_c}}.
Essa é a fórmula prática que vou usar: dado o raio r e a aceleração centrípeta a_c, o período é T = 2\pi\sqrt{r/a_c}.

Passo 4

Agora substituo os valores numéricos, passo a passo e de forma que dê para fazer na prova sem calculadora se quiser usar simplificações exatas.
  • Primeiro calcule a_c em \mathrm{m/s^2}:
a_c = 3,0\,g = 3,0\times 9,8\\ \mathrm{m/s^2} = 29,4\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Calculo a razão r/a_c:
\frac{r}{a_c} = \frac{7,0}{29,4}.
Para simplificar, multiplico numerador e denominador por 10:
\frac{7,0}{29,4} = \frac{70}{294}.
Dividindo numerador e denominador por 14 obtém-se a fração simples
\frac{70}{294} = \frac{5}{21} \approx 0,238095\ldots
  • Agora a raiz quadrada:
\sqrt{\frac{r}{a_c}} = \sqrt{\frac{5}{21}} \approx 0,4880.
(para cálculo rápido: \sqrt{0,25}=0,5, e nosso número é um pouco menor que 0,25, então a raiz fica um pouco menor que 0,5, cerca de 0,488.)
  • Finalmente multiplico por 2\pi:
T = 2\pi\sqrt{\frac{r}{a_c}} \approx 2\pi \times 0,4880 \approx 3,06\\ \mathrm{s}.
Aqui usei 2\pi \approx 6,2832 e 6,2832\times 0,4880 \approx 3,06. Arredondei para três algarismos significativos, coerente com os dados iniciais.

Passo 5

Interpretação curta e ânimo: o período de aproximadamente 3,06\\ \mathrm{s} significa que, para que a aceleração centrípeta seja três vezes a gravidade, o voluntário deve completar cada volta em cerca de três segundos. Tá meio rápido, mas nada impossível — e você fez direitinho o raciocínio físico e algébrico!

Resposta

T \approx 3,06\\ \mathrm{s}

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