Uma partícula descreve uma trajetória circular de raio
no plano
. O módulo da velocidade da partícula se mantém constante e igual a
, com
expresso em m/s e
.
Mantendo-se o raio da trajetória, qual deverá ser o módulo da velocidade, em m/s, para que a aceleração centrípeta reduza à metade?
Mantendo-se o raio da trajetória, qual deverá ser o módulo da velocidade, em m/s, para que a aceleração centrípeta reduza à metade?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (peguei estes números do enunciado):
- Raio da trajetória:
. - Módulo da velocidade inicial:
. - O módulo da velocidade é constante no movimento circular atual.
O que se pede: - Manter o mesmo raio
e encontrar o novo módulo da velocidade tal que a aceleração centrípeta seja reduzida à metade (isto é, ).
Passo 2
Conceito e fórmula importante (aula rápida, sem pular etapas):
- Em movimento circular uniforme (módulo da velocidade constante), a aceleração centrípeta tem módulo dado por
onde:
-
é a aceleração centrípeta (em ); -
é o módulo da velocidade tangencial (em ); -
é o raio da trajetória circular (em ).
Essa fórmula vem da necessidade de mudar continuamente a direção da velocidade; o módulo da aceleração depende do quadrado da velocidade e é inversamente proporcional ao raio.
Passo 3
Montar a equação que representa o pedido (reduzir a aceleração à metade) e manipular algebricamente:
- Queremos
. Usando a fórmula da centrípeta,
- Como
é o mesmo nos dois lados, ele se cancela, restando
- Tirando raiz positiva (módulos de velocidade são positivos),
Esta é a relação geral: reduzir a aceleração centrípeta à metade equivale a reduzir a velocidade por um fator
.
Passo 4
Substituir os números e calcular (contas detalhadas):
- Substituindo
na expressão
- Usando
,
- Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular
inicial e a metade, e conferir com . -
- Metade:
- Com
: que está muito próximo de (diferença por arredondamento). Portanto o resultado é consistente.
-