Uma partícula descreve uma trajetória circular de raio R=8,80 \mathrm{~m} no plano x y. O módulo da velocidade da partícula se mantém constante e igual a 3,85 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com v expresso em m/s e t \mathrm{em} \mathrm{s}.
Mantendo-se o raio da trajetória, qual deverá ser o módulo da velocidade, em m/s, para que a aceleração centrípeta reduza à metade?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei estes números do enunciado):
  • Raio da trajetória: R=8,80\\ \mathrm{m}.
  • Módulo da velocidade inicial: v=3,85\\ \mathrm{m/s}.
  • O módulo da velocidade é constante no movimento circular atual.
    O que se pede:
  • Manter o mesmo raio R e encontrar o novo módulo da velocidade v' tal que a aceleração centrípeta seja reduzida à metade (isto é, a'_c = \tfrac{1}{2}a_c).

Passo 2

Conceito e fórmula importante (aula rápida, sem pular etapas):
  • Em movimento circular uniforme (módulo da velocidade constante), a aceleração centrípeta tem módulo dado por
a_c=\frac{v^2}{R},
onde:
  • a_c é a aceleração centrípeta (em \mathrm{m/s^2});
  • v é o módulo da velocidade tangencial (em \mathrm{m/s});
  • R é o raio da trajetória circular (em \mathrm{m}).
    Essa fórmula vem da necessidade de mudar continuamente a direção da velocidade; o módulo da aceleração depende do quadrado da velocidade e é inversamente proporcional ao raio.

Passo 3

Montar a equação que representa o pedido (reduzir a aceleração à metade) e manipular algebricamente:
  • Queremos a'_c=\dfrac{1}{2}a_c. Usando a fórmula da centrípeta,
\frac{{v'}^{2}}{R}=\frac{1}{2}\cdot\frac{v^{2}}{R}.
  • Como R é o mesmo nos dois lados, ele se cancela, restando
{v'}^{2}=\frac{1}{2}\,v^{2}.
  • Tirando raiz positiva (módulos de velocidade são positivos),
v'=\frac{v}{\sqrt{2}}.
Esta é a relação geral: reduzir a aceleração centrípeta à metade equivale a reduzir a velocidade por um fator \sqrt{2}.

Passo 4

Substituir os números e calcular (contas detalhadas):
  • Substituindo v=3,85\\ \mathrm{m/s} na expressão
v'=\frac{3,85}{\sqrt{2}}.
  • Usando \sqrt{2}\approx1,41421356,
v'\approx\frac{3,85}{1,41421356}\approx2,72\\ \mathrm{m/s}.
  • Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular a_c inicial e a metade, e conferir com v'.
    • a_c=\dfrac{3,85^{2}}{8,80}=\dfrac{14,8225}{8,80}\approx1,6834\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Metade: \tfrac{1}{2}a_c\approx0,8417\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Com v'\approx2,72\\ \mathrm{m/s}: \dfrac{{v'}^{2}}{R}\approx\dfrac{2,72^{2}}{8,80}=\dfrac{7,3984}{8,80}\approx0,8407\\ \mathrm{m/s^2}, que está muito próximo de 0,8417 (diferença por arredondamento). Portanto o resultado é consistente.

Resposta

2,72\\ \mathrm{m/s}

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