Usando as regras de derivação, calcule a primeira derivada das funções abaixo:
f(x)=e^{2 x}, \cos \left(\pi x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a primeira derivada das duas funções abaixo (ou seja, encontrar f'(x) para cada uma):
  • f(x)=e^{2 x}.
  • g(x)=\cos\!\bigl(\pi x^{2}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • As expressões das funções estão exatamente como acima.
  • Queremos a derivada em relação à variável x.
  • Não há outros dados (pontos, restrições, ou pedido de derivadas de ordem superior).

Passo 2

Ferramentas / regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma didática).
  • Regra da cadeia (essa é a principal aqui). Em palavras: quando uma função é composta — isto é, uma função depende de outra função — a derivada é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna. Em fórmula:
\frac{d}{dx}\bigl(F(u(x))\bigr)=F'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui:
  • F é a função externa (por exemplo e^{u} ou \cos u);
  • u(x) é a função interna (por exemplo 2x ou \pi x^{2});
  • F'(u(x)) significa: primeiro derivar F em termos de u, depois substituir u=u(x);
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • Derivadas básicas que vamos aplicar:
    • Derivada da exponencial básica:
    \frac{d}{du}\bigl(e^{u}\bigr)=e^{u}.
    Ou seja, a função exponencial é especial porque sua derivada é a própria função.
    • Derivada do cosseno:
    \frac{d}{du}\bigl(\cos u\bigr)=-\sin u.
    • Derivada de potência simples (caso específico que aparece aqui):
    \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
    • Derivada de uma constante multiplicando uma função:
    \frac{d}{dx}\bigl(c\cdot h(x)\bigr)=c\cdot h'(x),
    onde c é constante.

Passo 3

Pequeno exemplo-intuitivo antes de aplicar: se tivermos h(x)=e^{3x}, trata-se de F(u)=e^{u} com u(x)=3x. Pela regra da cadeia,
h'(x)=F'(u(x))\cdot u'(x)=e^{u(x)}\cdot 3 = 3e^{3x}.
Isso reforça a ideia: derivar o expoente e multiplicar pela exponencial.

Passo 4

Derivando f(x)=e^{2x} passo a passo.
  1. Identificar função externa e interna:
    • Função externa: F(u)=e^{u}.
    • Função interna: u(x)=2x.
  2. Calcular u'(x): u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2,porque a derivada de x é 1 e a constante 2 multiplica.
  3. Aplicar a regra da cadeia: f'(x)=F'(u(x))\cdot u'(x).Sabendo que F'(u)=e^{u}, substituímos u(x)=2x e u'(x)=2: f'(x)=e^{2x}\cdot 2.
  4. Escrever de forma habitual: f'(x)=2e^{2x}.

Passo 5

Derivando g(x)=\cos\!\bigl(\pi x^{2}\bigr) passo a passo.
  1. Identificar função externa e interna:
    • Função externa: F(u)=\cos u.
    • Função interna: u(x)=\pi x^{2}.
      Observe que \pi é uma constante multiplicativa.
  2. Calcular u'(x):
    Primeiro, \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x. Como u(x)=\pi\cdot x^{2} e \pi é constante: u'(x)=\pi\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=\pi\cdot 2x = 2\pi x.
  3. Aplicar a regra da cadeia: g'(x)=F'(u(x))\cdot u'(x).Como F'(u)=-\sin u, substituímos u(x)=\pi x^{2} e u'(x)=2\pi x: g'(x) = -\sin\!\bigl(\pi x^{2}\bigr)\cdot (2\pi x).
  4. Reescrever de forma mais bonita: g'(x) = -2\pi x\,\sin\!\bigl(\pi x^{2}\bigr).

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (resumo prático que ajuda a não se perder):
  • Sempre identifique a parte “externa” e a “interna”. Substituir isso por nomes F e u ajuda a aplicar a regra da cadeia sem errar.
  • Derive a interna com calma (a maior fonte de erro é esquecer um fator como o 2 em x^{2} ou o \pi constante).
  • Para exponenciais do tipo e^{\text{algo}}, a derivada da externa é a própria exponencial; para trigonométricas, memorize \frac{d}{du}\cos u=-\sin u e \frac{d}{du}\sin u=\cos u.
  • Faça um mini-check: diferencie mentalmente e veja se aparece o mesmo fator que estava dentro do expoente/argumento (por exemplo, apareceu 2 em 2x, apareceu 2\pi x em \pi x^{2}?).

Resposta

f'(x)=2e^{2x}
g'(x)=-2\pi x\,\sin\!\bigl(\pi x^{2}\bigr)

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