Usando as regras de derivação, calcule a primeira derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a primeira derivada das duas funções abaixo (ou seja, encontrar
para cada uma):
-
. -
.
Informações relevantes fornecidas:
- As expressões das funções estão exatamente como acima.
- Queremos a derivada em relação à variável
. - Não há outros dados (pontos, restrições, ou pedido de derivadas de ordem superior).
Passo 2
Ferramentas / regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma didática).
- Regra da cadeia (essa é a principal aqui). Em palavras: quando uma função é composta — isto é, uma função depende de outra função — a derivada é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna. Em fórmula:
Aqui:
-
é a função externa (por exemplo ou ); -
é a função interna (por exemplo ou ); -
significa: primeiro derivar em termos de , depois substituir ; -
é a derivada de em relação a . -
Derivadas básicas que vamos aplicar:
- Derivada da exponencial básica:
Ou seja, a função exponencial é especial porque sua derivada é a própria função.- Derivada do cosseno:
- Derivada de potência simples (caso específico que aparece aqui):
- Derivada de uma constante multiplicando uma função:
ondeé constante.
Passo 3
Pequeno exemplo-intuitivo antes de aplicar: se tivermos
, trata-se de
com
. Pela regra da cadeia,
Isso reforça a ideia: derivar o expoente e multiplicar pela exponencial.
Passo 4
Derivando
passo a passo.
- Identificar função externa e interna:
- Função externa:
. - Função interna:
.
- Função externa:
- Calcular
: porque a derivada de é e a constante multiplica. - Aplicar a regra da cadeia:
Sabendo que , substituímos e : - Escrever de forma habitual:
Passo 5
Derivando
passo a passo.
- Identificar função externa e interna:
- Função externa:
. - Função interna:
.
Observe queé uma constante multiplicativa.
- Função externa:
- Calcular
:
Primeiro,. Como e é constante: - Aplicar a regra da cadeia:
Como , substituímos e : - Reescrever de forma mais bonita:
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (resumo prático que ajuda a não se perder):
- Sempre identifique a parte “externa” e a “interna”. Substituir isso por nomes
e ajuda a aplicar a regra da cadeia sem errar. - Derive a interna com calma (a maior fonte de erro é esquecer um fator como o
em ou o constante). - Para exponenciais do tipo
, a derivada da externa é a própria exponencial; para trigonométricas, memorize e . - Faça um mini-check: diferencie mentalmente e veja se aparece o mesmo fator que estava dentro do expoente/argumento (por exemplo, apareceu
em , apareceu em ?).