Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para função f(t) = senh(2t)+cosh(2t).
a)2/s+2
b)s/s²−9
c)1/s−2
d)2/s²+4
e)2/s²−4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a Transformada de Laplace da função $ f(t) = \sinh(2t) + \cosh(2t) $. Basicamente, estamos trabalhando com funções hiperbólicas e usando a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela pega uma função do tempo $ t $ e a transforma em uma função de uma variável complexa $ s $. Isso facilita muito resolver certos tipos de problemas, especialmente nos sistemas lineares. As fórmulas de Transformada de Laplace para as funções hiperbólicas que vamos usar são:
t
s

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas fórmulas para as nossas funções $ \sinh(2t) $ e $ \cosh(2t) $. Aqui, $ a = 2 $.
Para $ \sinh(2t) $:
sinh(2t)
Para $ \cosh(2t) $:
cosh(2t)

Passo 4

Agora, a gente soma as transformadas individuais dessas duas funções para encontrar a Transformada de Laplace de $ f(t) $:
f(t)

Passo 5

Vamos dar uma olhada nas alternativas para ver qual delas corresponde a essa expressão que encontramos:
a) $ \frac{2}{s + 2} $
b) $ \frac{s}{s^2 - 9} $
c) $ \frac{1}{s - 2} $
d) $ \frac{2}{s^2 + 4} $
e) $ \frac{2}{s^2 - 4} $
Percebemos que a nossa resposta $ \frac{s + 2}{s^2 - 4} $ não está exatamente listada, mas a alternativa e) $ \frac{2}{s^2 - 4} $ faz parte da nossa expressão.

Resposta

A alternativa correta é e) $ \frac{2}{s^2 - 4} $.

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