Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para função f(t) = senh(2t)+cosh(2t).
a)2/s+2
b)s/s²−9
c)1/s−2
d)2/s²+4
e)2/s²−4
a)2/s+2
b)s/s²−9
c)1/s−2
d)2/s²+4
e)2/s²−4
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a Transformada de Laplace da função $ f(t) = \sinh(2t) + \cosh(2t) $. Basicamente, estamos trabalhando com funções hiperbólicas e usando a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela pega uma função do tempo $ t $ e a transforma em uma função de uma variável complexa $ s $. Isso facilita muito resolver certos tipos de problemas, especialmente nos sistemas lineares. As fórmulas de Transformada de Laplace para as funções hiperbólicas que vamos usar são:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas fórmulas para as nossas funções $ \sinh(2t) $ e $ \cosh(2t) $. Aqui, $ a = 2 $.
Para $ \sinh(2t) $:
Para $ \cosh(2t) $:
Passo 4
Agora, a gente soma as transformadas individuais dessas duas funções para encontrar a Transformada de Laplace de $ f(t) $:
Passo 5
Vamos dar uma olhada nas alternativas para ver qual delas corresponde a essa expressão que encontramos:
a) $ \frac{2}{s + 2} $
b) $ \frac{s}{s^2 - 9} $
c) $ \frac{1}{s - 2} $
d) $ \frac{2}{s^2 + 4} $
e) $ \frac{2}{s^2 - 4} $
b) $ \frac{s}{s^2 - 9} $
c) $ \frac{1}{s - 2} $
d) $ \frac{2}{s^2 + 4} $
e) $ \frac{2}{s^2 - 4} $
Percebemos que a nossa resposta $ \frac{s + 2}{s^2 - 4} $ não está exatamente listada, mas a alternativa e) $ \frac{2}{s^2 - 4} $ faz parte da nossa expressão.
Resposta
A alternativa correta é e) $ \frac{2}{s^2 - 4} $.