Seja T(x, y)=300-2 x^2-3 y^2 a temperatura em (x, y).
Determine a derivada direcional de T no ponto (4,9) na direção e sentido do vetor (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de T(x,y)=300-2x^2-3y^2 no ponto (4,9) na direção do vetor (1,1). Vamos usar a definição de derivada direcional: é o produto escalar entre o gradiente de T e o vetor unitário na direção desejada.

Passo 2

A primeira coisa é encontrar o gradiente de T. Lembrando que o gradiente é o vetor das derivadas parciais, temos
nabla T(x,y)=l(partial Tpartial x,,partial Tpartial yr)=(-4x,,-6y)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto (4,9):
nabla T(4,9)=(-4cdot4,,-6cdot9)=(-16,,-54)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de (1,1). A norma de (1,1) é raiz1^2+1^2=raiz2, logo o vetor unitário é
u=l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre nabla T(4,9) e u:
DuT(4,9)=(-16,-54)cdotl(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)=-16-54raiz2=-70raiz2=-35raiz2

Resposta

-35\sqrt{2}

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