Utilize coordenadas esféricas para calcular
integral-5^5 integral-raiz25-x^2^raiz25-x^2 integral-raiz25-x^2-y^2^raiz25-x^2-y^2 (x^2+y^2+z^2)^2 d z d y d x

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla que está em coordenadas cartesianas. O enunciado pede para a gente usar coordenadas esféricas para facilitar. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especialmente integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para esféricas e usar as fórmulas adequadas para a mudança de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está limitada por -5 <= x <= 5, -raiz25-x^2 <= y <= raiz25-x^2 e -raiz25-x^2-y^2 <= z <= raiz25-x^2-y^2. Isso descreve uma esfera com raio 5 centrada na origem, porque x^2 + y^2 + z^2 <= 25.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: o raio r (a distância do ponto até a origem), o ângulo theta (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e o ângulo phi (o ângulo a partir do eixo z). As relações de conversão são:
x = r sinphi costheta
y = r sinphi sintheta
z = r cosphi

Passo 4

Vamos também lembrar que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta. Além disso, a função que estamos integrando é (x^2 + y^2 + z^2)^2. Em esféricas, isso simplifica para (r^2)^2 = r^4.

Passo 5

Agora, vamos ajustar os limites de integração para coordenadas esféricas. Como estamos integrando sobre uma esfera de raio 5:
  • r vai de 0 a 5
  • theta vai de 0 a 2pi (uma volta completa no plano xy)
  • phi vai de 0 a pi (do polo norte ao polo sul)

Passo 6

Montamos a integral em coordenadas esféricas substituindo tudo:
integral0^2pi integral0^pi integral0^5 r^4 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Aqui, r^4 é a nossa função original e r^2 sinphi vem do elemento de volume.

Passo 7

Simplificando a integral:
integral0^2pi dtheta cdot integral0^pi sinphi , dphi cdot integral0^5 r^6 , dr
Separamos as integrais porque elas são independentes entre si.

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. integral0^2pi dtheta = 2pi
  2. integral0^pi sinphi , dphi = 2
  3. integral0^5 r^6 , dr = [r^77]0^5 = 5^77 = 781257

Passo 9

Multiplicando os resultados das integrais:
2pi times 2 times 781257 = 3125007 pi

Resposta

A integral vale 3125007 pi.

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