Utilize coordenadas esféricas para calcular
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla que está em coordenadas cartesianas. O enunciado pede para a gente usar coordenadas esféricas para facilitar. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especialmente integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para esféricas e usar as fórmulas adequadas para a mudança de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está limitada por
,
e
. Isso descreve uma esfera com raio 5 centrada na origem, porque
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: o raio
(a distância do ponto até a origem), o ângulo
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e o ângulo
(o ângulo a partir do eixo z). As relações de conversão são:
Passo 4
Vamos também lembrar que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
. Além disso, a função que estamos integrando é
. Em esféricas, isso simplifica para
.
Passo 5
Agora, vamos ajustar os limites de integração para coordenadas esféricas. Como estamos integrando sobre uma esfera de raio 5:
-
vai de 0 a 5 -
vai de 0 a (uma volta completa no plano xy) -
vai de 0 a (do polo norte ao polo sul)
Passo 6
Montamos a integral em coordenadas esféricas substituindo tudo:
Aqui,
é a nossa função original e
vem do elemento de volume.
Passo 7
Simplificando a integral:
Separamos as integrais porque elas são independentes entre si.
Passo 8
Vamos resolver cada integral separadamente:
Passo 9
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral vale
.