Marque a alternativa correta:
Considere a equação diferencial 1x d yd x-2 yx^2=x cos x. Se y(pi)=0, qual o valor de y(pi2) ?
(a) -4 pi^2
(b) -pi2
© pi^24
(d) pi^2

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial 1xdydx-2yx^2=xcos x com a condição inicial y(pi)=0 e, a partir daí, calcular y(tfracpi2). O conteúdo principal é equação linear de 1ª ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Primeiro, multiplicamos a equação por x pra ficar no formato padrão y'+P(x)y=Q(x):
dydx-2xy=x^2cos x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral -2xdx=e^-2ln x=x^-2
Ele serve pra tornar o lado esquerdo numa derivada exata.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^-2. O lado esquerdo vira
ddxl(x^-2yr)
e o lado direito fica x^-2cdot x^2cos x=cos x. Assim:
ddx(x^-2y)=cos x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
x^-2y=integralcos x,dx=sin x+C
Logo a solução geral é
y=x^2(sin x+C)

Passo 6

Usamos a condição y(pi)=0:
0=pi^2(sinpi+C)=pi^2cdot0+pi^2Cimplies C=0
Fica y=x^2sin x.

Passo 7

Finalmente, calculamos
yl(tfracpi2r)=l(tfracpi2r)^2sinl(tfracpi2r)=pi^24cdot1=pi^24

Resposta

pi^24

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