Uma massa
em uma mola com constante
satisfaz a equação diferencial
onde
e
são constantes positivas e
é o deslocamento da massa no instante
a partir da sua posição de equilíbrio.
Transforme a equação acima em um sistema de equações de primeira ordem fazendo
. Encontre o sistema de equações
satisfeito por
.
Transforme a equação acima em um sistema de equações de primeira ordem fazendo
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos uma massa m presa a uma mola com constante k que satisfaz a equação de segunda ordem:
O tema é transformar essa EDO em um sistema de EDOs de primeira ordem.
Passo 2
Para reduzir a ordem da equação, introduzimos variáveis de estado:
e
.
Derivando essas variáveis em relação a t, obtemos e
.
Derivando essas variáveis em relação a t, obtemos
Passo 3
Usando a equação original
podemos isolar
. Logo,
.
Organizando o sistema na forma vetorial , identificamos a matriz
.
Organizando o sistema na forma vetorial
Resposta
O sistema em forma matricial é
.