Uma massa m em uma mola com constante k satisfaz a equação diferencial
m v^prime prime+k v=0
onde m e k são constantes positivas e v(t) é o deslocamento da massa no instante t a partir da sua posição de equilíbrio.
Transforme a equação acima em um sistema de equações de primeira ordem fazendo x1=v, x2=v^prime. Encontre o sistema de equações x^prime=A x satisfeito por x=binomx1x2.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma massa m presa a uma mola com constante k que satisfaz a equação de segunda ordem:
m v'' + k v = 0
O tema é transformar essa EDO em um sistema de EDOs de primeira ordem.

Passo 2

Para reduzir a ordem da equação, introduzimos variáveis de estado: x1 = v e x2 = v'.
Derivando essas variáveis em relação a t, obtemos x1' = v' = x2 e x2' = v''.

Passo 3

Usando a equação original
m v'' + k v = 0
podemos isolar v'' = -km v. Logo, x2' = -km x1.
Organizando o sistema na forma vetorial x' = A,x, identificamos a matriz A.

Resposta

O sistema em forma matricial é x' = 0 & 1 -km & 0 x.

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