Marque a alternativa correta:
Um estudante deseja memorizar um conjunto de 60 fatos. De acordo com os psicólogos, a taxa segundo a qual uma pessoa pode memorizar um conjunto de fatos é proporcional ao número de fatos que restam para serem momorizados. Suponha que inicialmente nenhum fato tenha sido memorizado. Se o estudante memoriza 30 fatos nos primeiros 60 minutos, quantos fatos ele conseguirá memorizar em 2 horas?
(a) 45 fatos
(b) 50 fatos
© 55 fatos
(d) 60 fatos

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um estudante que quer memorizar 60 fatos. Segundo os psicólogos, a velocidade com que alguém memoriza esses fatos depende de quantos ainda faltam para serem memorizados. Inicialmente, nenhum fato foi memorizado. A pergunta é: se o estudante consegue memorizar 30 fatos nos primeiros 60 minutos, quantos fatos ele vai conseguir memorizar em 2 horas (120 minutos)?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de proporcionalidade e equações diferenciais que modelam taxas de mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis:
  • dMdt = k (N - M(t)) fatos (total a ser memorizado)
  • = número de fatos memorizados no tempo
  • = taxa de memorização, ou seja, quantos fatos são memorizados por unidade de tempo
A questão nos diz que a taxa de memorização é proporcional aos fatos que ainda faltam. Matemáticamente, isso fica:
Onde é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis:
dMN - M = k , dt
Integrando ambos os lados:
- ln(N - M) = kt + C
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para ln(N - M) = -kt + C :
N - M = e^-kt + C = e^C e^-kt
Elevando ambos os lados como potência de N - M = C' e^-kt :
M(t) = N - C' e^-kt
Vamos chamar de :
Isolando :

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar 0 = 60 - C' e^-k cdot 0 0 = 60 - C' C' = 60 e M(t) = 60 - 60 e^-kt .
Sabemos que inicialmente nenhum fato foi memorizado, ou seja, :
Então, a equação fica:

Passo 6

Sabemos também que após 60 minutos, 30 fatos foram memorizados:
30 = 60 - 60 e^-k cdot 60 60 e^-60k = 60 - 30 e^-60k = 3060 = 0,5 -60k = ln(0,5) k = -ln(0,5)60 = ln(2)60

Passo 7

Agora que temos M(120) = 60 - 60 e^-k cdot 120 M(120) = 60 - 60 e^-2 cdot 60k , podemos encontrar M(120) = 60 - 60 e^-2 cdot ln(2) M(120) = 60 - 60 e^ln(2^-2) M(120) = 60 - 60 cdot (12)^2 M(120) = 60 - 60 cdot 14 M(120) = 60 - 15 M(120) = 45 para minutos (2 horas):
Substituindo :

Resposta

O estudante conseguirá memorizar 45 fatos em 2 horas. (Alternativa a)

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