Marque a alternativa correta:
Um estudante deseja memorizar um conjunto de 60 fatos. De acordo com os psicólogos, a taxa segundo a qual uma pessoa pode memorizar um conjunto de fatos é proporcional ao número de fatos que restam para serem momorizados. Suponha que inicialmente nenhum fato tenha sido memorizado. Se o estudante memoriza 30 fatos nos primeiros 60 minutos, quantos fatos ele conseguirá memorizar em 2 horas?
(a) 45 fatos
(b) 50 fatos
© 55 fatos
(d) 60 fatos
Um estudante deseja memorizar um conjunto de 60 fatos. De acordo com os psicólogos, a taxa segundo a qual uma pessoa pode memorizar um conjunto de fatos é proporcional ao número de fatos que restam para serem momorizados. Suponha que inicialmente nenhum fato tenha sido memorizado. Se o estudante memoriza 30 fatos nos primeiros 60 minutos, quantos fatos ele conseguirá memorizar em 2 horas?
(a) 45 fatos
(b) 50 fatos
© 55 fatos
(d) 60 fatos
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um estudante que quer memorizar 60 fatos. Segundo os psicólogos, a velocidade com que alguém memoriza esses fatos depende de quantos ainda faltam para serem memorizados. Inicialmente, nenhum fato foi memorizado. A pergunta é: se o estudante consegue memorizar 30 fatos nos primeiros 60 minutos, quantos fatos ele vai conseguir memorizar em 2 horas (120 minutos)?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de proporcionalidade e equações diferenciais que modelam taxas de mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis:
-
fatos (total a ser memorizado) -
= número de fatos memorizados no tempo -
= taxa de memorização, ou seja, quantos fatos são memorizados por unidade de tempo
A questão nos diz que a taxa de memorização é proporcional aos fatos que ainda faltam. Matemáticamente, isso fica:
Onde
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
:
Elevando ambos os lados como potência de
:
Vamos chamar
de
:
Isolando
:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Sabemos que inicialmente nenhum fato foi memorizado, ou seja,
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Sabemos também que após 60 minutos, 30 fatos foram memorizados:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
para
minutos (2 horas):
Substituindo
:
Resposta
O estudante conseguirá memorizar 45 fatos em 2 horas. (Alternativa a)