Resolva :
c e^x cos y d x-e^x sen y d y=0 y(0)=1

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial exata e^xcos y,dx - e^xsin y,dy = 0 com condição inicial y(0)=1. O conteúdo é de equações diferenciais exatas e vamos precisar verificar a exatidão e encontrar uma função potencial Phi(x,y).

Passo 2

Identificamos M(x,y)=e^xcos y e N(x,y)=-e^xsin y. Calculamos
partial Mpartial y=-e^xsin y,
e
partial Npartial x=-e^xsin y
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial, integramos M em relação a x:
Phi(x,y)=integral e^xcos y,dx = e^xcos y + h(y)
Derivando em relação a y:
partial Phipartial y=-e^xsin y + h'(y)
e igualando a N=-e^xsin y obtemos h'(y)=0. Logo h(y) é constante e podemos escrever
Phi(x,y)=e^xcos y

Passo 4

A solução geral implícita é
e^xcos y = C
Usando a condição inicial y(0)=1, temos
C=e^0cos(1)=cos 1
Logo a solução implícita é
e^xcos y = cos 1

Resposta

y(x)=arccosl(cos 1,e^-xr)

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