Verifique se a sequencia (an)=(2raizn-raizn+1) é convergente

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência an=dfrac2raizn-raizn+1 é convergente; o assunto aqui é convergência de sequências reais e vamos precisar racionalizar o denominador para entender o comportamento de an quando ntoinfty.

Passo 2

Para simplificar an e descobrir seu limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raizn-raizn+1. Assim temos:
an=2raizn-raizn+1timesraizn+raizn+1raizn+raizn+1 =2l(raizn+raizn+1r)n-(n+1) =2(raizn+raizn+1)-1 =-2l(raizn+raizn+1r)

Passo 3

Agora que temos an=-2(raizn+raizn+1), basta analisar o limite quando ntoinfty. Sabemos que raizntoinfty, logo raizn+raizn+1toinfty e, portanto,
limntoinftyan=limntoinftyl[-2(raizn+raizn+1)r]=-infty

Resposta

A sequência não é convergente; ela diverge para -infty.

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