Marque a alternativa correta que identifique a convergência ou divergência das séries abaixo:
b). \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{1+n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty}\biggl(\frac{1}{1+n}\biggr)^{n}
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o Teste da Raiz, que diz que se
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}
e L<1, então a série \sum a_{n} converge; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Raiz à série com a_{n} = \bigl(\tfrac{1}{1+n}\bigr)^{n}. Calculamos
\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\bigl(\tfrac{1}{1+n}\bigr)^{n}} = \frac{1}{1+n}.
Agora tomamos o limite quando n \to \infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n} = 0.

Passo 3

Como o valor do teste da raiz é
L = 0 < 1,
concluímos que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\bigl(\tfrac{1}{1+n}\bigr)^{n} converge.

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