Marque dentre as alternativas abaixo, uma fórmula para a Soma de Riemann, denotada por
, da função
ao longo do intervalo
, obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais e os pontos amostrais em cada subintervalo são os extremos à direita.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa encontrar qual das alternativas representa a Soma de Riemann para a função $ f(x) = x^2 $ no intervalo
. A gente vai dividir esse intervalo em $ n $ partes iguais e usar os extremos à direita de cada subintervalo como pontos de amostragem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma Soma de Riemann, como dividir o intervalo em subintervalos iguais e como escolher os pontos de amostragem certos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma Soma de Riemann. É uma maneira de aproximar a área sob a curva de uma função $ f(x) $ em um intervalo
dividindo esse intervalo em $ n $ subintervalos iguais, calculando o valor da função em pontos específicos dentro de cada subintervalo e somando esses valores multiplicados pela largura dos subintervalos.
Passo 3
No nosso caso, o intervalo é
e a função é $ f(x) = x^2 $. Vamos dividir esse intervalo em $ n $ subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo ($ \Delta x $) é:
Passo 4
Como queremos usar os extremos à direita como pontos de amostragem, o ponto amostral em cada subintervalo será o extremo direito desse subintervalo. O $ i
x_i $) pode ser calculado como:
onde $ i $ vai de 1 até $ n $.
Passo 5
Agora, a Soma de Riemann ($ S_n $) é a soma dos valores da função nos pontos amostrais multiplicados pela largura do subintervalo. Então, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos comparar essa expressão com as alternativas fornecidas:
- (A) $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{i}{n} \right)^2 $
- (B) $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i{2}}{n{3}} $
- © $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^{2}}{n} $
- (D) $ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{i{2}}{n{2}} $
- (E) $ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{i{2}}{n{3}} $
A nossa expressão $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i2}{n3} $ corresponde exatamente à alternativa (B).
Resposta
A alternativa correta é a (B) $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i{2}}{n{3}} $.