Marque dentre as alternativas abaixo, uma fórmula para a Soma de Riemann, denotada por Sn, da função f(x)=x^2 ao longo do intervalo [0,1], obtida dividindo-se o intervalo em n subintervalos iguais e os pontos amostrais em cada subintervalo são os extremos à direita.
(A) Sn=sumi=1^n(in)^2
(B) Sn=sumi=1^n i^2n^3
© Sn=sumi=1^n i^2n
(D) Sn=sumi=0^n-1 i^2n^2
(E) Sn=sumi=0^n-1 i^2n^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa encontrar qual das alternativas representa a Soma de Riemann para a função $ f(x) = x^2 $ no intervalo f(x) = x^2 . A gente vai dividir esse intervalo em $ n $ partes iguais e usar os extremos à direita de cada subintervalo como pontos de amostragem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma Soma de Riemann, como dividir o intervalo em subintervalos iguais e como escolher os pontos de amostragem certos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma Soma de Riemann. É uma maneira de aproximar a área sob a curva de uma função $ f(x) $ em um intervalo f(x) dividindo esse intervalo em $ n $ subintervalos iguais, calculando o valor da função em pontos específicos dentro de cada subintervalo e somando esses valores multiplicados pela largura dos subintervalos.

Passo 3

No nosso caso, o intervalo é [0,1] e a função é $ f(x) = x^2 $. Vamos dividir esse intervalo em $ n $ subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo ($ \Delta x $) é:
f(x) = x^2

Passo 4

Como queremos usar os extremos à direita como pontos de amostragem, o ponto amostral em cada subintervalo será o extremo direito desse subintervalo. O $ i i éà x_i $) pode ser calculado como:
xi
onde $ i $ vai de 1 até $ n $.

Passo 5

Agora, a Soma de Riemann ($ S_n $) é a soma dos valores da função nos pontos amostrais multiplicados pela largura do subintervalo. Então, temos:
Sn
Simplificando:
Sn = sumi=1^n f(xi) cdot De

Passo 6

Agora, vamos comparar essa expressão com as alternativas fornecidas:
  • (A) $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{i}{n} \right)^2 $
  • (B) $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i{2}}{n{3}} $
  • © $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^{2}}{n} $
  • (D) $ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{i{2}}{n{2}} $
  • (E) $ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{i{2}}{n{3}} $
A nossa expressão $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i2}{n3} $ corresponde exatamente à alternativa (B).

Resposta

A alternativa correta é a (B) $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i{2}}{n{3}} $.

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