Suponha que x = - 2 0 0 p + 1 2 0 0 0 unidades por mês de um certo produto sejam vendidas quando o preço é p reais a unidade. O gasto mensal total E dos consumidores é a quantia total gasta pelos consumidores em um mês para adquirir o produto. A) Expresse o gasto total mensal dos consumidores E em função do preço unitário p e desenhe o gráfico de E§. B) Discuta o significado em termos econômicos dos pontos em que a função E ( p ) intercepta o eixo p. C) Use o gráfico do item (a) para estimar o preço para o qual o gasto mensal dos consumidores é máximo. (1 Ponto)

Passo 1

O enunciado nos dá que a demanda mensal do produto, em unidades, é dada por x§=–2000·p+12000, onde p é o preço unitário em reais. Precisamos expressar o gasto mensal E§=p·x§, traçar seu gráfico e interpretar seus interceptos, depois estimar para qual p esse gasto é máximo. O conteúdo usado será funções quadráticas (polinômio de segundo grau) e propriedades de parábolas.

Passo 2

Primeiro montamos a função despesa E em função de p multiplicando preço pela quantidade: usamos x§=–2000p+12000, logo
E(p)=pcdot x(p)=pl(-2000p+12000r)=-2000p^2+12000p

Passo 3

Para desenhar o gráfico, notamos que E§ é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de p^2 negativo). Os interceptos com o eixo p (E=0) vêm de resolver
-2000p^2+12000p=0
que fatorando dá p(-2000p+12000)=0, ou seja p=0 e p=6. O vértice da parábola, que indica o máximo de E, ocorre em p_v=-b/(2a)= -12000/(2·(-2000))=3.

Passo 4

Em termos econômicos, em p=0 o produto é dado de graça e o gasto total é zero; em p=6 a demanda cai a zero (ninguém compra a esse preço alto) e o gasto também é zero.
Usando o vértice da parábola, concluímos que o gasto mensal dos consumidores atinge valor máximo quando p=3 reais. Nesse ponto E(3)=18000 reais.

Resposta

O gasto mensal máximo ocorre para p=3 reais por unidade.

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