Calcule a área da região do plano situada entre x=-12 e x=0 e limitada pelo eixo das abcissas e pelo gráfico da função h definida por
h(x)=arcsen xraiz1-x^2

Passo 1

Resumindo o problema: queremos calcular a área da região entre x=-tfrac12 e x=0, limitada pelo eixo das abscissas e pelo gráfico de h(x)=arcsin(x)raiz1-x^2. Esse cálculo envolve integral definida de uma função contínua.

Passo 2

Observando que em [-1/2,0] temos arcsin(x)<=0 e raiz1-x^2>0, segue que h(x)<=0. Logo a área é dada por
A=-integral-1/2^0 h(x),dx

Passo 3

Para obter a primitiva de h, fazemos a substituição t=arcsin(x). Assim, temos x=sin t, dx=cos t,dt e raiz1-x^2=cos t. Substituindo na integral, obtemos
integralarcsin(x)raiz1-x^2,dx=integral t,dt=t^22+C=(arcsin(x))^22+C

Passo 4

Avalia-se a integral definida:
integral-1/2^0arcsin(x)raiz1-x^2,dx=[(arcsin(x))^22]-1/2^0=0-(-tfracpi6)^22=-pi^272
Aplicando o sinal para área: A=-(-tfracpi^272)=tfracpi^272

Resposta

pi^272

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