Equaçōes de Segunda Ordem (
e
constantes)
(0.5) b) Explique, resumidamente, o procedimento para se obter a solução da equação,
.
(0.5) b) Explique, resumidamente, o procedimento para se obter a solução da equação,
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, dada por
. O conteúdo é EDO linear não homogênea, e vamos precisar achar a solução da parte homogênea e da particular.
Passo 2
Para obter a solução complementar (ou homogênea), escrevemos a equação associada
e montamos a equação característica
Passo 3
Resolvemos essa equação para encontrar as raízes
e
. A forma de
depende do tipo de raízes: reais distintas, reais iguais ou complexas conjugadas.
Passo 4
Para achar uma solução particular
, escolhemos um método adequado: coeficientes indeterminados quando
for combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos; ou variação de parâmetros em caso geral. Supomos uma forma para
e determinamos os coeficientes impondo que satisfaça a EDO.
Passo 5
A solução geral é a soma da complementar com a particular:
Passo 6
Se houver condições iniciais, basta aplicá-las em
e
para determinar as constantes da solução complementar.
Resposta
O procedimento consiste em: (i) resolver a equação característica
para obter a solução complementar
; (ii) escolher um método (coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros) para encontrar uma solução particular
; (iii) somar ambas e, se houver, aplicar as condições iniciais:
.