Equaçōes de Segunda Ordem ( a e b constantes)
(0.5) b) Explique, resumidamente, o procedimento para se obter a solução da equação, y^prime prime(t)+ b y^prime(t)+c y(t)=f(t).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, dada por y''(t)+b,y'(t)+c,y(t)=f(t). O conteúdo é EDO linear não homogênea, e vamos precisar achar a solução da parte homogênea e da particular.

Passo 2

Para obter a solução complementar (ou homogênea), escrevemos a equação associada y''+b,y'+c,y=0 e montamos a equação característica
lambda^2 + b,lambda + c = 0

Passo 3

Resolvemos essa equação para encontrar as raízes lambda1 e lambda2. A forma de yc(t) depende do tipo de raízes: reais distintas, reais iguais ou complexas conjugadas.

Passo 4

Para achar uma solução particular yp(t), escolhemos um método adequado: coeficientes indeterminados quando f(t) for combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos; ou variação de parâmetros em caso geral. Supomos uma forma para yp(t) e determinamos os coeficientes impondo que satisfaça a EDO.

Passo 5

A solução geral é a soma da complementar com a particular:
y(t)=yc(t)+yp(t)

Passo 6

Se houver condições iniciais, basta aplicá-las em y(t) e y'(t) para determinar as constantes da solução complementar.

Resposta

O procedimento consiste em: (i) resolver a equação característica lambda^2+blambda+c=0 para obter a solução complementar yc(t); (ii) escolher um método (coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros) para encontrar uma solução particular yp(t); (iii) somar ambas e, se houver, aplicar as condições iniciais: y(t)=yc(t)+yp(t).

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