A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que uma quantidade desse material decaia à metade de sua quantidade original. Simbolicamente, se t é o instante do tempo e Q(t) denota a quantidade de uma certa substância radioativa, a Lei do Decaimento Exponencial nos diz que existe uma constante \lambda>0 tal que a taxa de variação da quantidade da substância com relação ao tempo é negativa e proporcional à quantidade Q(t) de forma que a constante de proporcionalidade é \lambda. Encontre a EDO de primeira ordem que expressa a lei de decaimento. Resolva

Passo 1

O enunciado trata do decaimento exponencial de uma substância radioativa, em que a meia-vida é o tempo para a quantidade cair à metade. O conteúdo envolve modelar a taxa de variação proporcional à quantidade e resolver uma EDO de primeira ordem por separação de variáveis.

Passo 2

A “taxa de variação da quantidade é proporcional à quantidade e negativa” se traduz por\r
\frac{dQ}{dt} = -\lambda\,Q,\r
onde \lambda>0 é a constante de decaimento.

Passo 3

Reconhecendo a EDO como separável, escrevemos\r
\frac{dQ}{Q} = -\lambda\,dt.

Passo 4

Integramos ambos os lados:\r
\int \frac{dQ}{Q} = \int -\lambda\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|Q\bigr| = -\lambda\,t + C,\r
sendo C a constante de integração.

Passo 5

Aplicando exponenciação e definindo Q(0)=Q_0,\r
Q(t) = e^{-\lambda\,t + C} = C' e^{-\lambda\,t},\r
com C'=e^{C}. Como Q(0)=C'=Q_0, a solução particular fica\r
Q(t) = Q_0\,e^{-\lambda\,t}.

Resposta

A EDO que expressa a lei do decaimento é\r
\frac{dQ}{dt} = -\lambda\,Q\r
e sua solução, com condição inicial Q(0)=Q_0, é\r
\boxed{Q(t) = Q_0\,e^{-\lambda\,t}}.

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