Marque as expressões abaixo que equivalem ao quociente
\frac{x(t-15)}{2 t y}:
(a) \frac{x t}{2 t}-\frac{15}{y}
(b) \frac{t-15}{t y} \cdot \frac{x}{2}
(c) \frac{1}{y} \cdot(t-15) \cdot \frac{x}{2 t}
(d) \frac{x-15}{2 y}
(e) \frac{1}{y} \cdot \frac{t-15}{2} \cdot \frac{x}{t}
(f) x \cdot(t-15) \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t}
(g) 2 \cdot \frac{x(t-15)}{t y}
(h) \frac{1}{2 t y} \cdot x(t-15)

Passo 1

O enunciado dá o quociente
\frac{x(t-15)}{2 t y}
e pede para marcar quais das expressões (a)–(h) equivalem a esse quociente. Ou seja, para cada alternativa devo verificar se, por manipulação algébrica e pelas propriedades de multiplicação e divisão, ela se transforma exatamente em
\frac{x(t-15)}{2 t y}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão alvo é \dfrac{x(t-15)}{2 t y}.
  • As alternativas estão dadas em formas variadas (soma de frações, produto de fatores, fator comum, etc.).
  • Preciso decidir, para cada alternativa, se ela é identicamente igual à expressão alvo para todos os valores admissíveis de x,t,y (exceto zeros nos denominadores).

Passo 2

Mini-aula de manipulação algébrica rápida (regras que usarei):
  • Multiplicação é comutativa: por exemplo \displaystyle a\cdot b = b\cdot a.
  • Ao multiplicar frações, multiplica-se numeradores e denominadores: \displaystyle \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.
  • Pode-se escrever um quociente como produto de fatores recíprocos: \displaystyle \frac{A}{B} = A\cdot\frac{1}{B}.
  • Cancelamento: se um fator igual aparece no numerador e no denominador pode-se simplificar (desde que não seja zero).
  • Observação de forma útil: a expressão alvo pode ser reescrita de várias formas equivalentes, por exemplo
\frac{x(t-15)}{2 t y} = \frac{x}{2}\cdot\frac{t-15}{t}\cdot\frac{1}{y} = \frac{x}{2t}\cdot\frac{t-15}{y} = x\cdot(t-15)\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{y},
todas essas são exatamente a mesma coisa, só mudando a ordem dos fatores.

Passo 3

A alternativa (a) é
\frac{x t}{2 t}-\frac{15}{y}.
Primeiro simplifico o primeiro termo:
\frac{x t}{2 t}=\frac{x}{2}\quad\text{(cancelando \(t\) acima e abaixo, \(t\neq0\)).}
Logo (a) fica
\frac{x}{2}-\frac{15}{y}.
Para comparar com a expressão alvo, trago para um denominador comum (por exemplo 2y):
\frac{x}{2}-\frac{15}{y}=\frac{x y}{2y}-\frac{30}{2y}=\frac{x y-30}{2y}.
A expressão alvo é
\frac{x(t-15)}{2 t y}=\frac{x t-15x}{2 t y}.
Comparando \dfrac{x y-30}{2y} com \dfrac{x t-15x}{2 t y}, elas não coincidem em geral (há dependência diferente de t e x). Posso também dar um contraexemplo numérico: seja x=2,\\ t=3,\\ y=1. Então a expressão alvo vale
\frac{2(3-15)}{2\cdot3\cdot1}=\frac{2(-12)}{6}=-4,
enquanto (a) vale
\frac{2\cdot3}{2\cdot3}-\frac{15}{1}=1-15=-14.
Como os valores são diferentes, (a) NÃO é equivalente à expressão alvo.

Passo 4

A alternativa (b) é
\frac{t-15}{t y}\cdot\frac{x}{2}.
Multiplicando numeradores e denominadores:
\frac{t-15}{t y}\cdot\frac{x}{2}=\frac{x(t-15)}{2 t y},
que é exatamente a expressão alvo. Portanto (b) é equivalente.

Passo 5

A alternativa (c) é
\frac{1}{y}\cdot(t-15)\cdot\frac{x}{2 t}.
Reagrupando por comutatividade:
\frac{1}{y}\cdot(t-15)\cdot\frac{x}{2 t} = x(t-15)\cdot\frac{1}{2t}\cdot\frac{1}{y} = \frac{x(t-15)}{2 t y},
novamente exatamente a expressão alvo. Portanto (c) é equivalente.

Passo 6

A alternativa (d) é
\frac{x-15}{2 y}.
Compare com a forma fatorada da alvo \dfrac{x(t-15)}{2 t y}. A expressão (d) não tem t em lugar nenhum no numerador, enquanto a alvo tem t multiplicando x no numerador. A menos que haja uma relação especial entre x e t (que o enunciado não impõe), elas não são iguais em geral. Um contraexemplo numérico: com x=2,\\ t=3,\\ y=1,
\text{alvo}=-4,\qquad (d)=\frac{2-15}{2\cdot1}=\frac{-13}{2}=-6{,}5.
Como diferem, (d) NÃO é equivalente.

Passo 7

A alternativa (e) é
\frac{1}{y}\cdot\frac{t-15}{2}\cdot\frac{x}{t}.
Multiplicando:
\frac{1}{y}\cdot\frac{t-15}{2}\cdot\frac{x}{t} = \frac{x(t-15)}{2 t y},
que coincide com a expressão alvo. Portanto (e) é equivalente.

Passo 8

A alternativa (f) é
x\cdot(t-15)\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t}.
Reagrupando os fatores:
x\cdot(t-15)\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t} = x(t-15)\cdot\frac{1}{2t y} = \frac{x(t-15)}{2 t y},
igual à expressão alvo. Portanto (f) é equivalente.

Passo 9

A alternativa (g) é
2\cdot\frac{x(t-15)}{t y}.
Isso é
\frac{2x(t-15)}{t y}.
Compare com a alvo \dfrac{x(t-15)}{2 t y}. Dividindo (g) pela alvo:
\frac{\dfrac{2x(t-15)}{t y}}{\dfrac{x(t-15)}{2 t y}}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{1}=4,
ou simplesmente observando coeficientes, (g) é 4 vezes a expressão alvo, portanto NÃO são iguais em geral. Exemplo numérico: com x=2,t=3,y=1, (g) vale \dfrac{2\cdot2(3-15)}{3\cdot1}= \dfrac{2\cdot2\cdot(-12)}{3}=-32, enquanto a alvo era -4. Logo (g) NÃO é equivalente.

Passo 10

A alternativa (h) é
\frac{1}{2 t y}\cdot x(t-15).
Reescrevendo:
\frac{1}{2 t y}\cdot x(t-15)=\frac{x(t-15)}{2 t y},
que é exatamente a expressão alvo. Portanto (h) é equivalente.

Resposta

b
c
e
f
h

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