Marque as expressões abaixo que equivalem ao quociente
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
O enunciado dá o quociente
e pede para marcar quais das expressões (a)–(h) equivalem a esse quociente. Ou seja, para cada alternativa devo verificar se, por manipulação algébrica e pelas propriedades de multiplicação e divisão, ela se transforma exatamente em
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão alvo é
. - As alternativas estão dadas em formas variadas (soma de frações, produto de fatores, fator comum, etc.).
- Preciso decidir, para cada alternativa, se ela é identicamente igual à expressão alvo para todos os valores admissíveis de
(exceto zeros nos denominadores).
Passo 2
Mini-aula de manipulação algébrica rápida (regras que usarei):
- Multiplicação é comutativa: por exemplo
. - Ao multiplicar frações, multiplica-se numeradores e denominadores:
. - Pode-se escrever um quociente como produto de fatores recíprocos:
. - Cancelamento: se um fator igual aparece no numerador e no denominador pode-se simplificar (desde que não seja zero).
- Observação de forma útil: a expressão alvo pode ser reescrita de várias formas equivalentes, por exemplo
todas essas são exatamente a mesma coisa, só mudando a ordem dos fatores.
Passo 3
A alternativa (a) é
Primeiro simplifico o primeiro termo:
Logo (a) fica
Para comparar com a expressão alvo, trago para um denominador comum (por exemplo
):
A expressão alvo é
Comparando
com
, elas não coincidem em geral (há dependência diferente de
e
). Posso também dar um contraexemplo numérico: seja
. Então a expressão alvo vale
enquanto (a) vale
Como os valores são diferentes, (a) NÃO é equivalente à expressão alvo.
Passo 4
A alternativa (b) é
Multiplicando numeradores e denominadores:
que é exatamente a expressão alvo. Portanto (b) é equivalente.
Passo 5
A alternativa (c) é
Reagrupando por comutatividade:
novamente exatamente a expressão alvo. Portanto (c) é equivalente.
Passo 6
A alternativa (d) é
Compare com a forma fatorada da alvo
. A expressão (d) não tem
em lugar nenhum no numerador, enquanto a alvo tem
multiplicando
no numerador. A menos que haja uma relação especial entre
e
(que o enunciado não impõe), elas não são iguais em geral. Um contraexemplo numérico: com
,
Como diferem, (d) NÃO é equivalente.
Passo 7
A alternativa (e) é
Multiplicando:
que coincide com a expressão alvo. Portanto (e) é equivalente.
Passo 8
A alternativa (f) é
Reagrupando os fatores:
igual à expressão alvo. Portanto (f) é equivalente.
Passo 9
A alternativa (g) é
Isso é
Compare com a alvo
. Dividindo (g) pela alvo:
ou simplesmente observando coeficientes, (g) é
vezes a expressão alvo, portanto NÃO são iguais em geral. Exemplo numérico: com
, (g) vale
, enquanto a alvo era
. Logo (g) NÃO é equivalente.
Passo 10
A alternativa (h) é
Reescrevendo:
que é exatamente a expressão alvo. Portanto (h) é equivalente.
Resposta
b
c
e
f
h
c
e
f
h