Use as propriedades de raízes para decompor as expressões abaixo:
\sqrt[4]{\frac{x}{15}}

Passo 1

O enunciado pede para usar propriedades de raízes para decompor a expressão \sqrt[4]{\dfrac{x}{15}}.
Informações dadas:
  • A expressão a decompor é \sqrt[4]{\dfrac{x}{15}}.
  • Não há outras restrições explícitas sobre x no enunciado; ao manipular raízes, assumir que estamos trabalhando nos valores onde as raízes estão definidas (por exemplo x\ge 0 se quisermos raízes reais de índice par).

Passo 2

Vou lembrar e explicar as propriedades de raízes que vou usar (sempre de forma elementar):
  • Produto dentro da raiz: para a\ge 0 e b\ge 0,
\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}.
Isto diz que a raiz n-ésima de um produto é o produto das raízes n-ésimas. É uma consequência direta da definição de potência fracionária.
  • Quociente dentro da raiz: para a\ge 0 e b>0,
\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}.
Isto vem do fato anterior aplicado a a e 1/b.
  • Relação com potências fracionárias: para a\ge 0,
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
E regras de potências: a^{m/n}=(a^m)^{1/n}=(a^{1/n})^m.
Explicando as letras: n é o índice da raiz (aqui n=4), a,b são números onde a operação faz sentido (não-negativos para raiz de índice par).

Passo 3

Aplicar a propriedade do quociente dentro da raiz à expressão dada:
\sqrt[4]{\frac{x}{15}}=\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{15}}.
Explicação passo a passo: como a raiz quarta de um quociente é o quociente das raízes quartas, podemos separar numerador e denominador dentro da mesma raiz.

Passo 4

Fatorar 15 e aplicar a propriedade do produto dentro da raiz para decompor ainda mais o denominador. Como 15=3\cdot 5, temos
\sqrt[4]{15}=\sqrt[4]{3\cdot 5}=\sqrt[4]{3}\,\sqrt[4]{5}.
Substituindo no resultado do passo anterior:
\sqrt[4]{\frac{x}{15}}=\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{3}\,\sqrt[4]{5}}.

Passo 5

Escrever formas alternativas equivalentes usando potências fracionárias e raízes compostas (útil na prova para reconhecer formas):
  • Em potências:
\sqrt[4]{\frac{x}{15}}=x^{1/4}\,15^{-1/4}=x^{1/4}\,3^{-1/4}\,5^{-1/4}.
  • Como raiz composta (quebra em duas raízes quadradas):
\sqrt[4]{\frac{x}{15}}=\sqrt{\sqrt{\frac{x}{15}}}=\sqrt{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{15}}}.
Cada uma dessas formas é equivalente e pode ser conveniente dependendo do que a prova pedir (por exemplo, simplificar, racionalizar, comparar ordens de grandeza etc.).

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (apenas para verificar a igualdade):
  • Tomando x=16:
\sqrt[4]{\frac{16}{15}}=\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{15}}=\frac{2}{\sqrt[4]{15}},
o que confirma que separar numerador e denominador funciona na prática.

Resposta

\displaystyle \sqrt[4]{\frac{x}{15}}=\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{15}}
\displaystyle \sqrt[4]{\frac{x}{15}}=\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{3}\,\sqrt[4]{5}}
\displaystyle \sqrt[4]{\frac{x}{15}}=x^{1/4}\,15^{-1/4}=x^{1/4}\,3^{-1/4}\,5^{-1/4}

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