Use as propriedades de raízes para decompor as expressões abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para usar propriedades de raízes para decompor a expressão
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão a decompor é
. - Não há outras restrições explícitas sobre
no enunciado; ao manipular raízes, assumir que estamos trabalhando nos valores onde as raízes estão definidas (por exemplo se quisermos raízes reais de índice par).
Passo 2
Vou lembrar e explicar as propriedades de raízes que vou usar (sempre de forma elementar):
- Produto dentro da raiz: para
e ,
Isto diz que a raiz n-ésima de um produto é o produto das raízes n-ésimas. É uma consequência direta da definição de potência fracionária.
- Quociente dentro da raiz: para
e ,
Isto vem do fato anterior aplicado a
e
.
- Relação com potências fracionárias: para
,
E regras de potências:
.
Explicando as letras: é o índice da raiz (aqui
),
são números onde a operação faz sentido (não-negativos para raiz de índice par).
Explicando as letras:
Passo 3
Aplicar a propriedade do quociente dentro da raiz à expressão dada:
Explicação passo a passo: como a raiz quarta de um quociente é o quociente das raízes quartas, podemos separar numerador e denominador dentro da mesma raiz.
Passo 4
Fatorar
e aplicar a propriedade do produto dentro da raiz para decompor ainda mais o denominador. Como
, temos
Substituindo no resultado do passo anterior:
Passo 5
Escrever formas alternativas equivalentes usando potências fracionárias e raízes compostas (útil na prova para reconhecer formas):
- Em potências:
- Como raiz composta (quebra em duas raízes quadradas):
Cada uma dessas formas é equivalente e pode ser conveniente dependendo do que a prova pedir (por exemplo, simplificar, racionalizar, comparar ordens de grandeza etc.).
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (apenas para verificar a igualdade):
- Tomando
:
o que confirma que separar numerador e denominador funciona na prática.