Marque V ou F, justificando sua resposta (prove se verdadeiro e dê um contra-exemplo caso falso):
(a) ( ) Se
é um ponto de inflexão, então,
.
(b) ( ) Se
for contínua em
, então
.
(c) ()
.
(d) ( ) Se o volume de uma bolinha de naftalina diminui, por evaporação, a uma taxa proporcional à área de sua superfície, então, seu raio decresce a uma taxa constante.
(a) ( ) Se
(b) ( ) Se
(c) ()
(d) ( ) Se o volume de uma bolinha de naftalina diminui, por evaporação, a uma taxa proporcional à área de sua superfície, então, seu raio decresce a uma taxa constante.
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. Os conteúdos envolvidos são:
– Ponto de inflexão e segunda derivada.
– Teorema Fundamental do Cálculo para derivada de integral.
– Paridade de funções e integral de função ímpar em intervalo simétrico.
– Relações de taxas em variação de volume e raio de uma esfera.
– Ponto de inflexão e segunda derivada.
– Teorema Fundamental do Cálculo para derivada de integral.
– Paridade de funções e integral de função ímpar em intervalo simétrico.
– Relações de taxas em variação de volume e raio de uma esfera.
Passo 2
Analisando (a): “Se
é um ponto de inflexão, então
.”
Um ponto de inflexão é onde a concavidade de muda de côncava para convexa ou vice-versa, isto é, onde
muda de sinal. Mas não exige que
exista nem seja zero.
Contra-exemplo: .
Para tem
Um ponto de inflexão é onde a concavidade de
Contra-exemplo:
Para
logo
se
e
se
, muda concavidade em
, mas
não existe. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “Se
for contínua em
, então
.”
Quando os limites de integração são constantes, é número fixo e sua derivada é zero, não
.
Contra-exemplo trivial: tome qualquer , por exemplo
. Então
é constante e
Quando os limites de integração são constantes,
Contra-exemplo trivial: tome qualquer
Logo a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando (c):
Escrevendo
, o integrando é
Aqui
e
são funções pares e
é ímpar. O produto de duas funções pares e uma ímpar é ímpar. A integral de função ímpar em
é zero. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Analisando (d): “Se o volume de uma bolinha de naftalina diminui a uma taxa proporcional à área da superfície, então seu raio decresce a uma taxa constante.”
Temos para esfera de raio :
Temos para esfera de raio
e a hipótese
com
. Calculando
e igualando a
obtemos
constante. Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) V
(d) V
(b) F
(c) V
(d) V