Marque V ou F, justificando sua resposta (prove se verdadeiro e dê um contra-exemplo caso falso):
(a) ( ) Se c é um ponto de inflexão, então, f^prime prime(c)=0.
(b) ( ) Se f for contínua em [a, b], então dd x(integrala^b f(x) d x)=f(x).
(c) () integral-pi / 2^pi / 2 (x^4+3 x^8+4)raize^x^6 sen(x) d x=0.
(d) ( ) Se o volume de uma bolinha de naftalina diminui, por evaporação, a uma taxa proporcional à área de sua superfície, então, seu raio decresce a uma taxa constante.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. Os conteúdos envolvidos são:
– Ponto de inflexão e segunda derivada.
– Teorema Fundamental do Cálculo para derivada de integral.
– Paridade de funções e integral de função ímpar em intervalo simétrico.
– Relações de taxas em variação de volume e raio de uma esfera.

Passo 2

Analisando (a): “Se c é um ponto de inflexão, então f''(c)=0.”
Um ponto de inflexão é onde a concavidade de f muda de côncava para convexa ou vice-versa, isto é, onde f'' muda de sinal. Mas não exige que f''(c) exista nem seja zero.
Contra-exemplo: f(x)=raiz[3]x.
Para xneq0 tem
f''(x)=-tfrac29,x^-5/3,
logo f''(x)>0 se x<0 e f''(x)<0 se x>0, muda concavidade em x=0, mas f''(0) não existe. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Se f for contínua em [a,b], então dfracddxl(integrala^bf(x),dxr)=f(x).”
Quando os limites de integração são constantes, integrala^bf(x),dx é número fixo e sua derivada é zero, não f(x).
Contra-exemplo trivial: tome qualquer f, por exemplo f(x)=1. Então integrala^b1,dx=b-a é constante e
ddx(b-a)=0neq 1=f(x)
Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando (c):
integral-pi/2^pi/2x^4+3x^8+4raize^x^6sen(x),dx
Escrevendo raize^x^6=e^x^6/2, o integrando é
(x^4+3x^8+4),e^-x^6/2,sen(x)
Aqui (x^4+3x^8+4) e e^-x^6/2 são funções pares e sen(x) é ímpar. O produto de duas funções pares e uma ímpar é ímpar. A integral de função ímpar em [-pi/2,pi/2] é zero. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Analisando (d): “Se o volume de uma bolinha de naftalina diminui a uma taxa proporcional à área da superfície, então seu raio decresce a uma taxa constante.”
Temos para esfera de raio r(t):
V(t)=tfrac43pi r^3, A(t)=4pi r^2,
e a hipótese dfracdVdt=-k,A(t) com k>0. Calculando
dVdt =ddtl(tfrac43pi r^3r) =4pi r^2drdt
e igualando a -kcdot4pi r^2 obtemos
4pi r^2drdt=-4pi k,r^2 Longrightarrow drdt=-k,
constante. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) V
(d) V

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