Resolva os seguintes problemas de valores iniciais:
y^prime prime-6 y^prime+9 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 6y' + 9y = 0,
sujeita às condições y(0)=2 e y'(0)=-1. Vamos resolver montando a equação característica, encontrando suas raízes e ajustando as constantes pela condição inicial.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y=e^rx:
r^2 - 6r + 9 = 0
Resolvendo, percebemos que o discriminante é zero e há raiz dupla:
r = 6 pm raiz36 - 362 = 3

Passo 3

Como a raiz r=3 é de multiplicidade 2, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^3x

Passo 4

Para ajustar C1 e C2, precisamos de y'(x). Derivando:
y'(x) = l(C2 + 3(C1 + C2x)r)e^3x = l(C2 + 3C1 + 3C2xr)e^3x
Em x=0 temos y(0)=C1=2. Em x=0 também
y'(0) = C2 + 3C1 = C2 + 6 = -1
logo C2 = -7.

Resposta

y(x) = (2 - 7x)e^3x

Exercícios relacionados