(1.5 pontos cada) Para cada item a seguir deduza, mas não resolva, a integral que calcula o que se pede. Justifique cada passo e ao final apresente uma integral organizada em simplificada o quanto possível, caso o contrário perderá pontos.
integralC(x^2 y^3-raizx) d y, onde C é o arco da curva y=raizx de (1,1) a (4,2).

Passo 1

A questão pede a integral de linha integralC l(x^2y^3-raizxr),dy, onde C é o arco da curva y=raizx de (1,1) a (4,2). O conteúdo aqui é integral curvilínea de uma função diferencial do tipo P(x,y),dy. Para montar essa integral, vamos precisar parametrizar a curva e expressar dy em função do parâmetro.

Passo 2

Parametrizamos a curva tomando x=t e y=raizt, com t variando de 1 até 4, pois em x=1 temos y=1 e em x=4 temos y=2. Nesse caso
dy = dfracddt(raizt),dt = dfrac12raizt,dt

Passo 3

Substituindo na integral, temos primeiro
Pl(x(t),y(t)r)=t^2l(raiztr)^3 - raizt = t^7/2-t^1/2
Então o elemento da integral fica
(t^7/2-t^1/2),dy = (t^7/2-t^1/2)cdot12t^1/2,dt = 12l(t^3-1r),dt
Logo a integral de linha parametrizada, já organizada e simplificada, é
12integral1^4l(t^3-1r),dt

Resposta

12integral1^4l(t^3-1r),dt

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