Marque os seguintes pontos no sistema de coordenadas polares e encontre suas coordenadas cartesianas.
(-4,-pi3)

Passo 1

O enunciado pede para marcar no sistema de coordenadas polares o ponto com
r=-4 e theta=-tfracpi3, e depois converter essas coordenadas polares em cartesianas. O conteúdo aqui é conversão de coordenadas polares para cartesianas e manejo de raio negativo.

Passo 2

Quando o raio r é negativo, a convenção é usar o ponto equivalente com raio positivo e ângulo somado de pi, ou seja:
(r,theta)=(-4,-tfracpi3)long<=ftrightarrow (4,-tfracpi3+pi)=(4,tfrac2pi3)
Isso significa que, para marcar o ponto, você mede 4 unidades a partir da origem na direção do ângulo tfrac2pi3.

Passo 3

Para converter para cartesianas, usamos as fórmulas:
x=rcostheta, y=rsintheta
Podemos aplicar diretamente ao par equivalente (4,tfrac2pi3) ou ao original. Vou usar o equivalente, pois o raio é positivo.

Passo 4

Calculando os valores de cosseno e seno:
cosl(tfrac2pi3r)=-tfrac12, sinl(tfrac2pi3r)=tfracraiz32
Logo,
x=4cdotl(-tfrac12r)=-2, y=4cdottfracraiz32=2raiz3

Passo 5

Portanto, o ponto em coordenadas cartesianas é dado por (-2,,2raiz3).

Resposta

(-2,,2raiz3)

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