¿Qué posibilidades hay en el orden de integración para calcular la integral triple de una función f(x, y, z) sobre la región
Omega=(x, y, z) mid x^2+z^2 <= 4,-2 <= y <= 2 ?

Passo 1

El ejercicio pide describir las posibles órdenes de integración para calcular
integral triplaOmega f(x,y,z),dV en la región
Omega=(x,y,z)mid x^2+z^2<=4,,-2<= y<=2. El contenido es integración múltiple en coordenadas cartesianas; vamos a necesitar escribir límites adecuados para cada variable según el orden.

Passo 2

Observamos que Omega es un cilindro de radio 2 alineado con el eje y. Su proyección en el plano x!z es el disco
Dxz=(x,z)mid x^2+z^2<=4,
y la variable y varía de manera independiente en [-2,2].

Passo 3

Para las variables x,z tenemos dos tipos de dependencia en los límites: si integramos primero en x, entonces

y si integramos primero en xin[-raiz4-z^2,,raiz4-z^2],, entonces
[z\in[-\sqrt{4-x2},,\sqrt{4-x2}}]. La variable z siempre varía de manera independiente en y, así que puede ir en posición interior, media o exterior sin cambiar sus límites constantes.

Passo 4

Combinando las dos posibles dependencias de x,z con las tres posiciones de y, obtenemos las seis permutaciones de integración siguientes:

Resposta

Los seis órdenes de integración con sus límites son:
integralz=-2^2 integraly=-2^2 integralx=-raiz4-z^2^raiz4-z^2 f(x,y,z),dx,dy,dz
integralz=-2^2 integralx=-raiz4-z^2^raiz4-z^2 integraly=-2^2 f(x,y,z),dy,dx,dz
integralx=-2^2 integralz=-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integraly=-2^2 f(x,y,z),dy,dz,dx
integralx=-2^2 integraly=-2^2 integralz=-raiz4-x^2^raiz4-x^2 f(x,y,z),dz,dy,dx
integraly=-2^2 integralx=-2^2 integralz=-raiz4-x^2^raiz4-x^2 f(x,y,z),dz,dx,dy
integraly=-2^2 integralz=-2^2 integralx=-raiz4-z^2^raiz4-z^2 f(x,y,z),dx,dz,dy

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