Marque a solução geral para a equação:
[(D-2) cdot(D-1)^3 cdot(D^2+4) cdot D] cdot y(x)=0,
C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7 são constantes arbitrárias
( ) y(x)=C1+C2 e^2 x+C3 e^x+C4 x e^x+C5 x^2 e^x+C6 cos (2 x)+ C7 sen(2 x)
( ) y(x)=C1+C2 x^2 x+C3 x^-x+C4 x^x+C5 x^2+C6 cos (x)+ C7 sen(x)
( ) y(x)=C1+C2 e^2 x+C3 e^x+C4 x e^x+C5 x^2 e^x+C6 2 x+C7 2 x
( ) nenhuma anterior.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes
(D-2)(D-1)^3(D^2+4)D;y(x)=0
onde D=ddx. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Primeiro, associamos o operador diferencial ao polinômio característico
r(r-2)(r-1)^3(r^2+4)=0
e identificamos todas as raízes e suas multiplicidades: raiz r=0 (multiplicidade 1), raiz r=2 (multiplicidade 1), raiz r=1 (multiplicidade 3), e raízes complexas r=pm2i (cada uma de multiplicidade 1).

Passo 3

Para cada raiz real simples r=a surge o termo e^ax. Para raiz real de multiplicidade m usamos x^k e^ax, k=0,1,dots,m-1. Para raízes complexas conjugadas alphapm ibeta adicionamos e^alpha xcos(beta x) e e^alpha xsin(beta x).
Aplicando isso às nossas raízes, obtemos:
r=0: termo constante C1.
r=2: termo C2e^2x.
r=1 (multiplicidade 3): termos C3e^x, C4x e^x, C5x^2e^x.
r=pm2i: termos C6cos(2x), C7sen(2x).
Juntando tudo, achamos a solução geral.

Passo 4

A solução geral é uma combinação linear dos termos acima, completando o espaço de soluções da equação dada.

Resposta

y(x)=C1 + C2 e^2x + C3 e^x + C4 x e^x + C5 x^2 e^x + C6 cos(2x) + C7 sen(2x)

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