Marque a solução geral para a equação:
,
são constantes arbitrárias
( )
( )
( )
( ) nenhuma anterior.
( )
( )
( )
( ) nenhuma anterior.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes
onde
. Vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Primeiro, associamos o operador diferencial ao polinômio característico
e identificamos todas as raízes e suas multiplicidades: raiz
(multiplicidade 1), raiz
(multiplicidade 1), raiz
(multiplicidade 3), e raízes complexas
(cada uma de multiplicidade 1).
Passo 3
Para cada raiz real simples
surge o termo
. Para raiz real de multiplicidade
usamos
,
. Para raízes complexas conjugadas
adicionamos
e
.
Aplicando isso às nossas raízes, obtemos:
– : termo constante
.
– : termo
.
– (multiplicidade 3): termos
,
,
.
– : termos
,
.
Juntando tudo, achamos a solução geral.
Aplicando isso às nossas raízes, obtemos:
–
–
–
–
Juntando tudo, achamos a solução geral.
Passo 4
A solução geral é uma combinação linear dos termos acima, completando o espaço de soluções da equação dada.