Resolva as seguintes inequações.
ll (i) |2 x+3| <= 1 & (ii) |2 x+3| >= 1 (iii) |2 x-1|+x <= 2 & (v) |2 x+4|-|x-1| <= 4

Passo 1

Temos quatro inequações envolvendo valor absoluto: (i) |2x+3|<=1, (ii) |2x+3|>=1, (iii) |2x-1|+x<=2 e (v) |2x+4|-|x-1|<=4. O conteúdo principal é inequações com módulo, e vamos usar as definições:
|u|<= a iff -a<= u<= a,
|u|>= a iff u<= -aou u>= a
e, quando aparecer soma ou diferença de módulos, faremos análise por casos conforme o sinal das expressões dentro dos módulos.

Passo 2

Para (i) |2x+3|<=1, aplicamos a regra |u|<= a:
-1<= 2x+3<= 1
Isolando x:
-4<= 2x<= -2 Longrightarrow -2<= x<= -1
Logo, a solução é [-2,-1].

Passo 3

Para (ii) |2x+3|>=1, usamos |u|>= a:
2x+3<= -1ou 2x+3>=1
Isso dá
2x<= -4implies x<= -2,
2x>= -2implies x>= -1
Assim, a solução é .

Passo 4

Para (iii) |2x-1|+x<=2, fazemos análise em dois casos:
Caso 1: 2x-1>=0 (isto é, x>=tfrac12), então |2x-1|=2x-1 e
2x-1+x<=2Longrightarrow 3x<=3implies x<=1
Interseção com x>=tfrac12 tfrac12<= x<=1.
Caso 2: 2x-1<0 (isto é, x), então |2x-1|=1-2x e
1-2x+x<=2Longrightarrow -x<=1implies x>= -1
Interseção com x -1<= x. Unindo, temos [-1,1].

Passo 5

Para (v) |2x+4|-|x-1|<=4, separamos em três intervalos conforme os sinais de 2x+4 e x-1:
  1. x<-2: |2x+4|=-(2x+4), |x-1|=1-x. A inequação vira
-2x-4-(1-x)<=4implies -x-5<=4implies x>= -9
Interseção com x<-2 [-9,-2).
2) -2<= x<1: |2x+4|=2x+4, |x-1|=1-x. Então
2x+4-(1-x)<=4implies 3x+3<=4implies x<=tfrac13
Interseção com -2<= x<1 [-2,tfrac13].
3) x>=1: |2x+4|=2x+4, |x-1|=x-1. A inequação seria
2x+4-(x-1)<=4implies x+5<=4implies x<= -1
que não encontra solução em x>=1. Portanto, unindo os casos obtemos [-9,tfrac13].

Resposta

(i) [-2,-1] \ (ii) [-1,1] \ (iii) [-9,tfrac13] \ (v)

Exercícios relacionados