Considere o anel \mathbb{Z}_{19} \operatorname{com} as operações de adição e multiplicação usuais. Encontre o inverso multiplicativo de 6 em \mathbb{Z}_{19} e Resolva a equação 8 x+15=2 x+1 em \mathbb{Z}_{19}. A resposta deve ser um elemento do conjunto \{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{18}\}.

Passo 1

O enunciado nos pede duas coisas em \mathbb{Z}_{19}:
  1. Encontrar o inverso multiplicativo de 6.
  2. Resolver a equação 8x + 15 = 2x + 1.
    Tudo isso usando aritmética modular em módulo 19.

Passo 2

Para achar o inverso de 6 em \mathbb{Z}_{19}, usamos o algoritmo de Euclides para resolver \gcd(6,19)=1 e expressar 1 como combinação linear de 6 e 19.
Observamos:
19 = 3 \cdot 6 + 1
Logo,
1 = 19 - 3 \cdot 6.
Isso mostra que
-3 \cdot 6 \equiv 1 \pmod{19}
e, como -3\equiv 16\pmod{19}, concluímos que o inverso de 6 é
\overline{16}.

Passo 3

Agora resolvemos a equação
8x + 15 \equiv 2x + 1 \pmod{19}.
Subtraindo 2x e 15 de ambos os lados, obtemos
6x \equiv 1 - 15 \equiv -14 \equiv 5 \pmod{19}.
Multiplicamos ambos os lados por \;6^{-1}=\overline{16}:
x \equiv 16 \cdot 5 \equiv 80 \equiv 80 - 4\cdot19 \equiv 80 - 76 \equiv 4 \pmod{19}.
Logo, a solução é \overline{4}.

Resposta

O inverso de \overline{6} em \mathbb{Z}_{19} é \overline{16}.
A solução da equação 8x+15=2x+1 em \mathbb{Z}_{19} é x = \overline{4}.

Exercícios relacionados