Encontre o limite das seguintes funções:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y). Vamos usar o critério de existência de limite em várias variáveis: o limite existe só se for o mesmo por qualquer trajetória que leve a (0,0).

Passo 2

Analisamos primeiro uma trajetória reta y = m x. Substituindo em f:
f\bigl(x,mx\bigr) =\frac{x^{2}\,(m x)}{x^{4}+(m x)^{2}} =\frac{m x^{3}}{x^{2}\,(x^{2}+m^{2})} =\frac{m x}{x^{2}+m^{2}}.
À medida que x\to0, o numerador vai para 0 e o denominador para m^{2}\neq0, logo
\lim_{x\to0}f\bigl(x,mx\bigr)=0.
Isso vale para qualquer m.

Passo 3

Agora escolhemos uma curva quadrática y = kx^{2}. Substituindo em f:
f\bigl(x,kx^{2}\bigr) =\frac{x^{2}\,(k x^{2})}{x^{4}+(k x^{2})^{2}} =\frac{k x^{4}}{x^{4}(1+k^{2})} =\frac{k}{1+k^{2}}.
Aqui o valor não depende de x e é exatamente \tfrac{k}{1+k^{2}}. Por exemplo, para k=1 obtemos \tfrac12, para k=2 obtemos \tfrac{2}{5}, etc.

Passo 4

Como pela reta y=mx o limite dá 0 e pela parábola y=kx^{2} \tfrac{k}{1+k^{2}} (que depende de k), vemos que o limite varia conforme a trajetória de aproximação. Logo o limite não pode ser único.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe.

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