e pede o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y). Vamos usar o critério de existência de limite em várias variáveis: o limite existe só se for o mesmo por qualquer trajetória que leve a (0,0).
Passo 2
Analisamos primeiro uma trajetória reta y = m x. Substituindo em f:
Aqui o valor não depende de x e é exatamente \tfrac{k}{1+k^{2}}. Por exemplo, para k=1 obtemos \tfrac12, para k=2 obtemos \tfrac{2}{5}, etc.
Passo 4
Como pela reta y=mx o limite dá 0 e pela parábola y=kx^{2} dá \tfrac{k}{1+k^{2}} (que depende de k), vemos que o limite varia conforme a trajetória de aproximação. Logo o limite não pode ser único.
Resposta
O limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe.