Sejam
e
. Defina
.
Se
e
são L.I., qual é a dimensão de
?
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Existem vetores
. - Define-se o subespaço
. - É dito que
são linearmente independentes (L.I.).
A pergunta que temos que responder é: qual é a dimensão de?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar claramente o que significa
.
Por definição,
Por definição,
é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores, isto é, todos os vetores da forma
onde
são escalares. Isso significa que, por construção, os quatro vetores geram (span) exatamente
.
Passo 3
Agora, o que significa serem linearmente independentes?
A coleção é linearmente independente se a única solução do sistema
A coleção
é
.
Ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros; não há redundância entre eles.
Ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros; não há redundância entre eles.
Passo 4
Agora a definição de base e dimensão:
- Um conjunto de vetores é uma base de um subespaço se os vetores são linearmente independentes e geram (span) aquele subespaço.
- A dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base finita desse subespaço.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso: o conjunto
gera
por definição de span, e é L.I. por hipótese. Logo esse conjunto satisfaz as duas condições para ser uma base de
.
Portanto é uma base de
.
Portanto
Passo 6
Como a dimensão é o número de vetores em qualquer base, e aqui temos uma base com exatamente quatro vetores, concluímos que a dimensão de
é
.