Sejam \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3} e \vec{u}_{4}. Defina \mathcal{U}=\operatorname{span}\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}, \vec{u}_{4}\right\}.
Se \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3} e \vec{u}_{4} são L.I., qual é a dimensão de \mathcal{U} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem vetores \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}, \vec{u}_{4}.
  • Define-se o subespaço \mathcal{U} = \operatorname{span}\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3},\vec{u}_{4}\}.
  • É dito que \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}, \vec{u}_{4} são linearmente independentes (L.I.).
    A pergunta que temos que responder é: qual é a dimensão de \mathcal{U}?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar claramente o que significa \operatorname{span}\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{4}\}.
Por definição,
\mathcal{U}=\operatorname{span}\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3},\vec{u}_{4}\}
é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores, isto é, todos os vetores da forma
a_{1}\vec{u}_{1}+a_{2}\vec{u}_{2}+a_{3}\vec{u}_{3}+a_{4}\vec{u}_{4},
onde a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} são escalares. Isso significa que, por construção, os quatro vetores geram (span) exatamente \mathcal{U}.

Passo 3

Agora, o que significa serem linearmente independentes?
A coleção \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3},\vec{u}_{4}\} é linearmente independente se a única solução do sistema
a_{1}\vec{u}_{1}+a_{2}\vec{u}_{2}+a_{3}\vec{u}_{3}+a_{4}\vec{u}_{4}=\vec{0}
é a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0.
Ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros; não há redundância entre eles.

Passo 4

Agora a definição de base e dimensão:
  • Um conjunto de vetores é uma base de um subespaço se os vetores são linearmente independentes e geram (span) aquele subespaço.
  • A dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base finita desse subespaço.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso: o conjunto \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3},\vec{u}_{4}\} gera \mathcal{U} por definição de span, e é L.I. por hipótese. Logo esse conjunto satisfaz as duas condições para ser uma base de \mathcal{U}.
Portanto \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3},\vec{u}_{4}\} é uma base de \mathcal{U}.

Passo 6

Como a dimensão é o número de vetores em qualquer base, e aqui temos uma base com exatamente quatro vetores, concluímos que a dimensão de \mathcal{U} é 4.

Resposta

4

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