Sejam \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3} e \vec{u}_{4}. Defina \mathcal{U}=\operatorname{span}\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}, \vec{u}_{4}\right\}.
Se \vec{u}_{1}=2 \vec{u}_{2}-3 \vec{u}_{3}, \vec{u}_{4}=7 \vec{u}_{3} e \left\{\vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}\right\} são L.I., apresente uma base para \mathcal{U} e diga qual é a dimensão de \mathcal{U} ?

Passo 1

O enunciado dá as quatro vetores \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}, \vec{u}_{4} e define
\mathcal{U}=\operatorname{span}\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3},\vec{u}_{4}\}.
Informações dadas:
\vec{u}_{1}=2\vec{u}_{2}-3\vec{u}_{3},
\vec{u}_{4}=7\vec{u}_{3},
e foi dito que o conjunto \{\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\} é linearmente independente (L.I.).
O que o problema pede:
  • Apresentar uma base para \mathcal{U}.
  • Dizer qual é a dimensão de \mathcal{U}.

Passo 2

Entendendo o que temos: a definição de \mathcal{U} é o conjunto de todas as combinações lineares dos quatro vetores dados. Vou mostrar primeiro que \vec{u}_{1} e \vec{u}_{4} já são combinações lineares de \vec{u}_{2} e \vec{u}_{3}, ou seja, que eles não acrescentam “novidade” ao espaço gerado por \vec{u}_{2} e \vec{u}_{3}.
Explicação do conceito usado aqui (didática rápida): dizer que um vetor \vec{v} é combinação linear de \vec{a} e \vec{b} significa que existem escalares c e d tais que
\vec{v}=c\vec{a}+d\vec{b}.
Se todos os vetores de um conjunto maior podem ser escritos como combinações lineares de um subconjunto menor, então o espaço gerado pelo conjunto maior é igual ao gerado pelo subconjunto menor.

Passo 3

Usando as igualdades fornecidas, escrevo explicitamente como qualquer vetor \vec{v}\in\mathcal{U} se comporta. Por definição de \mathcal{U} existe escalares a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} tais que
\vec{v}=a_{1}\vec{u}_{1}+a_{2}\vec{u}_{2}+a_{3}\vec{u}_{3}+a_{4}\vec{u}_{4}.
Agora substituo \vec{u}_{1}=2\vec{u}_{2}-3\vec{u}_{3} e \vec{u}_{4}=7\vec{u}_{3} nessa expressão. Primeiro escrevo a substituição em bloco:
\vec{v}=a_{1}(2\vec{u}_{2}-3\vec{u}_{3})+a_{2}\vec{u}_{2}+a_{3}\vec{u}_{3}+a_{4}(7\vec{u}_{3}).

Passo 4

Agrupo os termos em \vec{u}_{2} e em \vec{u}_{3}:
\vec{v}=(2a_{1}+a_{2})\vec{u}_{2}+(-3a_{1}+a_{3}+7a_{4})\vec{u}_{3}.
Isso mostra que qualquer \vec{v}\in\mathcal{U} é combinação linear apenas de \vec{u}_{2} e \vec{u}_{3}. Logo
\mathcal{U}\subseteq\operatorname{span}\{\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\}.

Passo 5

Por outro lado, \vec{u}_{2} e \vec{u}_{3} aparecem já entre os geradores originais de \mathcal{U}, então claramente
\operatorname{span}\{\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\}\subseteq\mathcal{U}.
Com as duas inclusões segue que
\mathcal{U}=\operatorname{span}\{\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\}.

Passo 6

Agora uso a informação dada de que \{\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\} é linearmente independente. Lembrete didático: um conjunto de vetores é uma base de um espaço se:
  1. Os vetores geram o espaço (ou seja, o span deles é todo o espaço).
  2. Eles são linearmente independentes (nenhum é combinação linear dos outros).
Como já mostramos que \operatorname{span}\{\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\}=\mathcal{U} e é dado que \{\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\} é L.I., concluímos que \{\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\} é uma base de \mathcal{U}.

Passo 7

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores de qualquer base (todos têm o mesmo número). Como encontramos uma base com dois vetores, segue que a dimensão é 2.

Resposta

\{\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\}
\dim(\mathcal{U})=2

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