Sejam
e
. Defina
.
Se
e
são L.I., apresente uma base para
e diga qual é a dimensão de
?
Se
Passo 1
O enunciado dá as quatro vetores
e define
Informações dadas:
e foi dito que o conjunto
é linearmente independente (L.I.).
O que o problema pede:
- Apresentar uma base para
. - Dizer qual é a dimensão de
.
Passo 2
Entendendo o que temos: a definição de
é o conjunto de todas as combinações lineares dos quatro vetores dados. Vou mostrar primeiro que
e
já são combinações lineares de
e
, ou seja, que eles não acrescentam “novidade” ao espaço gerado por
e
.
Explicação do conceito usado aqui (didática rápida): dizer que um vetor
é combinação linear de
e
significa que existem escalares
e
tais que
Se todos os vetores de um conjunto maior podem ser escritos como combinações lineares de um subconjunto menor, então o espaço gerado pelo conjunto maior é igual ao gerado pelo subconjunto menor.
Passo 3
Usando as igualdades fornecidas, escrevo explicitamente como qualquer vetor
se comporta. Por definição de
existe escalares
tais que
Agora substituo
e
nessa expressão. Primeiro escrevo a substituição em bloco:
Passo 4
Agrupo os termos em
e em
:
Isso mostra que qualquer
é combinação linear apenas de
e
. Logo
Passo 5
Por outro lado,
e
aparecem já entre os geradores originais de
, então claramente
Com as duas inclusões segue que
Passo 6
Agora uso a informação dada de que
é linearmente independente. Lembrete didático: um conjunto de vetores é uma base de um espaço se:
- Os vetores geram o espaço (ou seja, o span deles é todo o espaço).
- Eles são linearmente independentes (nenhum é combinação linear dos outros).
Como já mostramos que
e é dado que
é L.I., concluímos que
é uma base de
.
Passo 7
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores de qualquer base (todos têm o mesmo número). Como encontramos uma base com dois vetores, segue que a dimensão é
.