Marque V para verdadeiro e F para falso. Justifique sua resposta. Dados os limites
(A) lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2
(B) lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^2
podemos afirmar que:
( ) Ambos os limites (A) e (B) existem.
( ) Ambos os limites (A) e (B) não existem.
( ) O limite (A) é zero e o limite (B) não existe.
( ) O limite (A) não existe e o limite (B) existe.
( ) A não existência do limite (B) pode ser mostrada testando alguns caminhos.

Passo 1

Fala! Vamos resolver essa questão que pede para verificar a existência de dois limites de funções de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). A matéria aqui é cálculo de limites em cálculo multivariado. Vamos precisar usar coordenadas polares e analisar o comportamento das funções para diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite (A):
lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares onde x = r cos theta e y = r sin theta. Aqui, r = raizx^2 + y^2 e r 0 quando (x, y) (0,0).
Substituindo na expressão:
x yraizx^2+y^2 = (r cos theta)(r sin theta)r = r cos theta sin theta
Agora, como r 0, o produto r cos theta sin theta também tende a 0, independente do valor de theta. Portanto, o limite (A) é 0.

Passo 3

Agora, vamos para o limite (B):
lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^2
Vamos novamente usar coordenadas polares:
x = r cos theta, y = r sin theta
Substituindo na expressão:
(r cos theta)^2 (r sin theta) e^r sin theta(r cos theta)^4 + 4 (r sin theta)^2 = r^3 cos^2 theta sin theta e^r sin thetar^4 cos^4 theta + 4 r^2 sin^2 theta
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por r^2:
r cos^2 theta sin theta e^r sin thetar^2 cos^4 theta + 4 sin^2 theta
Quando r 0, e^r sin theta approx 1, então a expressão fica:
r cos^2 theta sin theta4 sin^2 theta = r cos^2 theta4 sin theta
Aqui, observamos que o comportamento do limite depende do caminho pelo qual (x, y) se aproxima de (0,0). Por exemplo:
  • Se theta = 0 (caminho ao longo do eixo x), sin theta = 0, mas x = r tende a 0 de forma direta.
  • Se theta = pi2 (caminho ao longo do eixo y), cos theta = 0, então o limite também tende a 0.
No entanto, para outros caminhos, como theta = pi4, a expressão pode não tender a um único valor, indicando que o limite pode não existir.

Resposta

( ) O limite (A) é zero e o limite (B) não existe.

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