Marque
para verdadeiro e
para falso. Justifique sua resposta. Dados os limites
(A)
(B)
podemos afirmar que:
( ) Ambos os limites (A) e (B) existem.
( ) Ambos os limites (A) e (B) não existem.
( ) O limite (A) é zero e o limite (B) não existe.
( ) O limite (A) não existe e o limite (B) existe.
( ) A não existência do limite (B) pode ser mostrada testando alguns caminhos.
(A)
(B)
podemos afirmar que:
( ) Ambos os limites (A) e (B) existem.
( ) Ambos os limites (A) e (B) não existem.
( ) O limite (A) é zero e o limite (B) não existe.
( ) O limite (A) não existe e o limite (B) existe.
( ) A não existência do limite (B) pode ser mostrada testando alguns caminhos.
Passo 1
Fala! Vamos resolver essa questão que pede para verificar a existência de dois limites de funções de duas variáveis quando
se aproxima de
. A matéria aqui é cálculo de limites em cálculo multivariado. Vamos precisar usar coordenadas polares e analisar o comportamento das funções para diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite (A):
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares onde
e
. Aqui,
e
quando
.
Substituindo na expressão:
Agora, como
, o produto
também tende a 0, independente do valor de
. Portanto, o limite (A) é 0.
Passo 3
Agora, vamos para o limite (B):
Vamos novamente usar coordenadas polares:
Substituindo na expressão:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
:
Quando
,
, então a expressão fica:
Aqui, observamos que o comportamento do limite depende do caminho pelo qual
se aproxima de
. Por exemplo:
- Se
(caminho ao longo do eixo ), , mas tende a 0 de forma direta. - Se
(caminho ao longo do eixo ), , então o limite também tende a 0.
No entanto, para outros caminhos, como
, a expressão pode não tender a um único valor, indicando que o limite pode não existir.
Resposta
( ) O limite (A) é zero e o limite (B) não existe.