Marque verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
A função y=\sqrt{1+x^{2}} é solução particular da \mathrm{EDO}\left(1+x^{2}\right) d y-x y d x=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função particular y = \sqrt{1 + x^{2}} satisfaz a equação diferencial
(1 + x^{2})\,dy - x\,y\,dx = 0.
O conteúdo aqui é a verificação de solução de uma EDO: basta expressar a equação na forma \frac{dy}{dx}=\cdots e comparar com a derivada de y.

Passo 2

Reescrevendo a EDO em termos de \frac{dy}{dx}, temos
(1 + x^{2})\,dy = x\,y\,dx
\implies \frac{dy}{dx} = \frac{x\,y}{1 + x^{2}}.

Passo 3

Agora, calculamos \frac{dy}{dx} para y = \sqrt{1 + x^{2}}. Usando regra da cadeia:
y = (1 + x^{2})^{\tfrac12} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac12\,(1 + x^{2})^{-\tfrac12}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}.

Passo 4

Comparemos com o lado direito da EDO:
\frac{x\,y}{1 + x^{2}} = \frac{x\,\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}},
que coincide exatamente com \frac{dy}{dx} obtido no passo anterior. Logo, y=\sqrt{1+x^{2}} satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Verdadeiro.

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