Marque verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
A \mathrm{EDO} y^{\prime}-\frac{y}{x}=x-2 é linear e variáveis separáveis, mas não é homogênea.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' - \frac{y}{x} = x - 2
e pede para avaliar se ela é
  1. linear,
  2. de variáveis separáveis,
  3. homogênea.

Passo 2

Para ver que é linear, basta escrever na forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x).
Aqui temos
P(x) = -\frac{1}{x}, \quad Q(x) = x - 2,
que são funções só de x. Logo é uma EDO linear de primeira ordem.

Passo 3

Para ser de variáveis separáveis, precisaríamos reescrever
\frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y).
Mas a equação é
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + x - 2,
que é soma de um termo \tfrac{y}{x} com um termo só em x. Não dá para separar em algo como X(x)\,Y(y). Portanto não é separável.

Passo 4

Uma EDO é chamada homogênea (no sentido y'=F(x,y) homogênea de grau zero) se F(x,y) for função de \tfrac{y}{x} apenas. Aqui
F(x,y) = \frac{y}{x} + x - 2
depende de x isoladamente através de x-2. Além disso Q(x)\neq0 sinaliza que é não homogênea. Logo não é homogênea.

Resposta

Falso.

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