Marque verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
A função y=0 é solução singular da \operatorname{EDO}(x-1) d y-y d x=0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a reta y=0 é solução singular da equação diferencial
(x-1)\,dy \;-\; y\,dx \;=\; 0.
O conteúdo é resolução de EDOs de primeira ordem, encontrar a família geral de integrais e identificar se existe solução singular (isto é, aquela que não se obtém por valor específico da constante de integração na solução geral).

Passo 2

Transformamos a equação diferencial em forma explícita de derivada:
(x-1)\,\frac{dy}{dx} \;=\; y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} \;=\;\frac{y}{x-1}.
Vemos que é separável, pois podemos escrever todos os y de um lado e todos os x do outro.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos:
\frac{dy}{y} \;=\;\frac{dx}{x-1} \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{dy}{y} \;=\;\int \frac{dx}{x-1} \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \ln|x-1| + C.
Exponenciando, obtemos a família geral
y = C\,(x-1),
onde C é constante real arbitrária.

Passo 4

A solução y=0 corresponde exatamente a escolher C=0 na família y=C(x-1). Uma solução singular seria aquela que não aparece para nenhum valor real de C na solução geral e tipicamente surge como envoltória da família de integrais. Como y=0 sai diretamente de C=0, ela não é singular, mas sim um caso particular da solução geral.

Resposta

FALSO.

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