Resolva as equações diferenciais ordinárias.
\left(x^{2}-3 y^{2}\right) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr)\,dx + 2xy\,dy = 0.
Reparamos que os termos M(x,y)=x^{2}-3y^{2} e N(x,y)=2xy são polinômios homogêneos de grau 2, então podemos usar a substituição para equações homogêneas y = u x.

Passo 2

Antes de mais nada, verificamos se a equação é exata. Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = -6y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y,
como -6y \neq 2y em geral, a forma não é exata. Vamos à abordagem por homogeneidade.

Passo 3

Fazemos y = u x. Logo
dy = u\,dx + x\,du.
Substituindo em \bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr)\,dx + 2xy\,dy = 0:

Passo 4

(x^{2}-3(u x)^{2})\,dx + 2x(u x)\bigl(u\,dx + x\,du\bigr)=0
\iff x^{2}(1-3u^{2})\,dx + 2u x^{2}\,u\,dx +2u x^{3}\,du=0
\iff x^{2}(1-u^{2})\,dx +2u x^{3}\,du=0.

Passo 5

Dividimos tudo por x^{2} (supondo x\neq0):
(1-u^{2})\,\frac{dx}{1} +2u x\,du=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (1-u^{2})\frac{dx}{x} +2u\,du=0.
Reescrevemos como
\frac{dx}{x} + \frac{2u}{1-u^{2}}\,du = 0.

Passo 6

Integramos cada termo:
\int \frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert, \quad \int \frac{2u}{1-u^{2}}\,du = -\ln\bigl\lvert1-u^{2}\bigr\rvert.
Então
\ln\lvert x\rvert - \ln\bigl\lvert1-u^{2}\bigr\rvert = C \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl\lvert\frac{x}{1-u^{2}}\Bigr\rvert = C.

Passo 7

Voltando a u = \tfrac{y}{x}, temos
1-u^{2} = 1 - \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}},
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\frac{x}{1-u^{2}} = \frac{x}{\tfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}} = \frac{x^{3}}{\,x^{2}-y^{2}\,}.
Da relação \ln\bigl\lvert x^{3}/(x^{2}-y^{2})\bigr\rvert = C segue a solução implícita
\frac{x^{3}}{x^{2}-y^{2}} = C_{1},
onde C_{1}=e^{C} é constante arbitrária.

Resposta

\frac{x^{3}}{x^{2}-y^{2}} = C.

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