Marque verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
A \mathrm{EDO}\left(1+x^{2}\right) d y-x y d x=0 é linear e variáveis separáveis, mas não é homogênea.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(1 + x^{2})\,dy - x\,y\,dx = 0
e pede para classificá-la quanto a ser linear, variáveis separáveis e homogênea. Vamos usar as definições:
  1. EDO linear de 1ª ordem se pode ser escrita como \displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
  2. EDO de variáveis separáveis se pode ser rearranjada em g(y)\,dy = h(x)\,dx.
  3. EDO homogênea (grau zero) se os termos M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 tiverem M e N homogêneos do mesmo grau.

Passo 2

Escrevendo em forma explícita de derivada:
(1 + x^{2})\,\frac{dy}{dx} = x\,y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} - \frac{x}{1 + x^{2}}\,y = 0.
Isso é exatamente a forma \displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)\,y = 0 com P(x) = -\tfrac{x}{1 + x^{2}}. Logo, a EDO é linear.

Passo 3

Para ver separabilidade, isolamos y em um lado e x no outro:
(1 + x^{2})\,dy = x\,y\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y} = \frac{x}{1 + x^{2}}\,dx.
Aqui o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x, então é variáveis separáveis.

Passo 4

Para testar homogeneidade, considere M(x,y) = -x\,y e N(x,y) = 1 + x^{2}.
  • M(tx,ty) = -\,t^{2}x\,y é homogêneo de grau 2.
  • N(tx,ty) = 1 + t^{2}x^{2} não é homogêneo (não se fatoriza um único t^{n}).
    Como M e N não são homogêneos do mesmo grau, a EDO não é homogênea.

Passo 5

Concluindo: a EDO é linear, é de variáveis separáveis e não é homogênea.

Resposta

Verdadeiro.

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