Resolva as integrais duplas
\int_{1}^{2} \int_{x^{3}}^{x} e^{\frac{y}{x}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = \int_{1}^{2}\int_{x^{3}}^{x}e^{\frac{y}{x}}\,dy\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração iterada: primeiro em y (integral interna) e depois em x (integral externa).

Passo 2

Vamos avaliar a integral interna em y:
\int e^{\frac{y}{x}}\,dy.
Fazendo a substituição u = \tfrac{y}{x} du = \tfrac{1}{x}dy, ou seja dy = x\,du. Logo
\int e^{\frac{y}{x}}\,dy = \int e^{u}\,x\,du = x e^{u} + C = x e^{\frac{y}{x}} + C.
Então, ao avaliar de y = x^3 até y = x, obtemos
\int_{x^{3}}^{x}e^{\frac{y}{x}}\,dy = x\Bigl(e^{\frac{x}{x}} - e^{\frac{x^{3}}{x}}\Bigr) = x\bigl(e - e^{x^{2}}\bigr).

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral externa em x, temos
I = \int_{1}^{2}x\bigl(e - e^{x^{2}}\bigr)\,dx = e\int_{1}^{2}x\,dx \;-\;\int_{1}^{2}x\,e^{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Calculemos cada parte separadamente:
  1. \displaystyle \int_{1}^{2}x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}. 2. \displaystyle \int_{1}^{2}x\,e^{x^{2}}\,dx.
    Com a substituição t = x^{2}, dt = 2x\,dx ou x\,dx = \tfrac{dt}{2}. Os limites em t vão de 1^{2}=1 a 2^{2}=4. Então
\int_{1}^{2}x\,e^{x^{2}}\,dx = \int_{1}^{4}e^{t}\,\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e^{1}\bigr) = \frac{e^{4}-e}{2}.

Passo 5

Agora juntamos os resultados:
I = e\cdot\frac{3}{2} \;-\;\frac{e^{4}-e}{2} = \frac{3e}{2} - \frac{e^{4}}{2} + \frac{e}{2} = \frac{4e - e^{4}}{2}.

Resposta

\boxed{\;I = \frac{4e - e^{4}}{2}\;}.

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