Marque Verdadeiro (V) ou Falso (F) nas sentencias abaixo, justificando suas respostas:
( ) Se A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) são tais que A B=0 (matriz nula), então B A=0.
( ) Se A=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 1 & 4\end{array}\right], então A^{2}-6 A+5 I_{2}=0.
( ) Se A, B \in M_{n}(\mathbb{R}), então (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}.
( ) Sejam A, B, C \in M_{n}(\mathbb{R}), A inversivel, Se A B=A C \Longrightarrow B=C.
( ) Se A, B \in M_{n}(\mathbb{R}), então \boldsymbol{\operatorname { d e t }}(A+B)=\boldsymbol{\operatorname { d e t }} A+\boldsymbol{\operatorname { d e t }} B.
( ) Se \operatorname{det} A=1, então A^{-1}=A.
Passo 1
O enunciado pede para marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) em seis sentenças sobre matrizes e justificar cada resposta. Vou enumerar as sentenças tal como dadas (uma por linha) para que fique claro o que cada item afirma:
Se A,B\in M_n(\mathbb{R}) são tais que AB=0 (matriz nula), então BA=0.
Se A=\begin{bmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 4\end{bmatrix}, então A^{2}-6A+5I_{2}=0.
Se A,B\in M_n(\mathbb{R}), então (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.
Sejam A,B,C\in M_n(\mathbb{R}), A inversível. Se AB=AC então B=C.
Se A,B\in M_n(\mathbb{R}), então \det(A+B)=\det A+\det B.
Se \det A=1, então A^{-1}=A.
Vou analisar e justificar cada item passo a passo.]
Passo 2
Item 1: “Se AB=0 então BA=0.”
Ideia/teoria necessária: Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, AB pode ser diferente de BA. A igualdade AB=0 significa que a imagem (coluna-espaço) de B está contida no núcleo de A (\operatorname{Im}(B)\subseteq\ker(A)), mas isso não impõe nada sobre \operatorname{Im}(A) e \ker(B). Portanto não há razão para que BA seja nula automaticamente.
Conclusão: o item é FALSO, pois há contraexemplo.]
Passo 3
Item 2: “Se A=\begin{bmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 4\end{bmatrix}, então A^{2}-6A+5I_{2}=0.”
O que usar: multiplicação de matrizes e operações com a matriz identidade. Também vale observar o Teorema de Cayley–Hamilton (uma matriz satisfaz seu polinômio característico), mas aqui podemos verificar diretamente.
Observação teórica curta: o polinômio característico de A é \lambda^{2}-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A). Aqui \operatorname{tr}(A)=2+4=6 e \det(A)=2\cdot4-3\cdot1=5, logo o polinômio característico é \lambda^{2}-6\lambda+5. Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, A satisfaz esse polinômio, o que confirma o cálculo.
Conclusão: o item é VERDADEIRO.]
Passo 4
Item 3: “Se A,B\in M_n(\mathbb{R}), então (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.”
Expansão correta: para matrizes(A+B)^{2}=(A+B)(A+B)=A^{2}+AB+BA+B^{2}.Então a expressão A^{2}+2AB+B^{2} coincide com (A+B)^{2} somente se AB=BA (ou seja, A e B comutam).
Como em geral matrizes não comutam, a igualdade geral é falsa.
Contraexemplo (reutilizando o caso do Passo 2 para conveniência): escolhaA=\begin{bmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{bmatrix}.Já sabemos que AB=0 e BA=\begin{bmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{bmatrix}.
Outro ponto de vista: a aplicação linear X\mapsto AX é injetora se A é inversível; logo AB=AC implica B=C.
Conclusão: o item é VERDADEIRO.
Passo 6
Item 5: “Se A,B\in M_n(\mathbb{R}), então \det(A+B)=\det A+\det B.”
Teoria necessária: o determinante é uma aplicação multilinear nas colunas (ou linhas) de uma matriz, e é alternada; não é uma aplicação linear no sentido \det(X+Y)=\det X+\det Y. Em geral não existe propriedade aditiva simples para determinantes.
Interpretação: a afirmação equivale a dizer que todo matriz com determinante 1 é sua própria inversa, i.e. A^{2}=I. Isso é muito restritivo: só as matrizes involutivas satisfazem A^{-1}=A.
Contraexemplo: tome a rotação de 90^\circ em \mathbb{R}^{2}A=\begin{bmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{bmatrix}.Tem-se \det A=0\cdot 0-(-1)\cdot 1=1. PorémA^{-1}=A^{T}=\begin{bmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{bmatrix}\neq A.(Além disso A^{2}=\begin{bmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{bmatrix}=-I\neq I, então A não é sua própria inversa.)
Conclusão: o item é FALSO.]
Passo 8
Resumo rápido das regras úteis que apareceram:
Multiplicação de matrizes não é comutativa: AB pode ser diferente de BA.
Para matriz invertível A, multiplicar uma igualdade pela esquerda (ou direita) por A^{-1} é uma ferramenta poderosa para cancelar A.
O determinante não é aditivo: \det(A+B)\neq\det A+\det B em geral.
Teorema de Cayley–Hamilton: uma matriz satisfaz seu polinômio característico (útil para identificar polinômios anuladores).
Para verificar sentenças falsas, um bom método é procurar contraexemplos simples em 2\times2.