Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna) da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero:
Calcular:
a) Desenvolvendo o determinante pela 1ạ linha e observando a alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- A matriz
é
- Foi lembrada a propriedade de operações elementares: somar a uma linha (ou coluna) um múltiplo de outra linha (ou coluna) não altera o determinante.
- O enunciado pede calcular
. - O enunciado já iniciou o desenvolvimento por cofactores (expansão pela primeira linha), fornecendo a expressão
Passo 2
Entender a expansão por uma linha (Laplace) e o determinante de
:
- Regra da alternância de sinais na expansão pela primeira linha: os sinais são
. - Determinante
: para vale
Agora calculamos cada menor
que aparece na expansão.]
Passo 3
Cálculo do primeiro menor (associado ao elemento
da primeira linha):
Termo correspondente na expansão:
Passo 4
Cálculo do segundo menor (associado ao elemento
da primeira linha), lembrando o sinal negativo da posição:
Termo correspondente na expansão:
Passo 5
Cálculo do terceiro menor (associado ao elemento
da primeira linha):
Termo correspondente na expansão:
Passo 6
Somando os três termos para obter
:
Passo 7
Verificação alternativa usando operações de linhas (para treinar o uso da propriedade que não altera o determinante):
- Aplicar
e (essas operações não mudam o determinante). Obtém-se
- Agora eliminar o elemento
com (também não altera o determinante):
- A matriz ficou triangular superior; o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal:
confirmando o resultado anterior.]