Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna) da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero:
\left|\begin{array}{lll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} & \mathrm{c}_{2} \\\ \mathrm{a}_{3} & \mathrm{~b}_{3} & \mathrm{c}_{3} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2}+\mathrm{ka}_{1} & \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{kb}_{1} & \mathrm{c}_{2}+\mathrm{kc}_{1} \\\ \mathrm{a}_{3} & \mathrm{~b}_{3} & \mathrm{c}_{3} \end{array}\right|
Calcular:
\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\\\ 4 & 10 & 12 \\\\ 5 & 7 & 9 \end{array}\right|
a) Desenvolvendo o determinante pela 1ạ linha e observando a alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:
\operatorname{det} A=+1 \times\left|\begin{array}{rr} 10 & 12 \\\\ 7 & 9 \end{array}\right|-2 \times\left|\begin{array}{rr} 4 & 12 \\\\ 5 & 9 \end{array}\right|+4 \times\left|\begin{array}{rr} 4 & 10 \\\\ 5 & 7 \end{array}\right|
\operatorname{det} \mathrm{A}=1 \times(10 \times 9-12 \times 7)-2 \times(4 \times 9-12 \times 5)+4 \times(4 \times 7-10 \times 5)
\operatorname{det} \mathrm{A}=1 \times(90-84)-2 \times(36-60)+4 \times(28-50)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • A matriz A é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\[4pt] 4 & 10 & 12\\[4pt] 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}.
  • Foi lembrada a propriedade de operações elementares: somar a uma linha (ou coluna) um múltiplo de outra linha (ou coluna) não altera o determinante.
  • O enunciado pede calcular \det A.
  • O enunciado já iniciou o desenvolvimento por cofactores (expansão pela primeira linha), fornecendo a expressão
\det A =+1\cdot\begin{vmatrix}10 & 12\\[4pt]7 & 9\end{vmatrix} -2\cdot\begin{vmatrix}4 & 12\\[4pt]5 & 9\end{vmatrix} +4\cdot\begin{vmatrix}4 & 10\\[4pt]5 & 7\end{vmatrix}.]

Passo 2

Entender a expansão por uma linha (Laplace) e o determinante de 2\times2:
  • Regra da alternância de sinais na expansão pela primeira linha: os sinais são +,-,+.
  • Determinante 2\times2: para \begin{vmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{vmatrix} vale
\begin{vmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{vmatrix}=ad-bc.
Agora calculamos cada menor 2\times2 que aparece na expansão.]

Passo 3

Cálculo do primeiro menor (associado ao elemento 1 da primeira linha):
\begin{vmatrix}10 & 12\\[4pt]7 & 9\end{vmatrix}=10\cdot9-12\cdot7=90-84=6.
Termo correspondente na expansão:
+1\times6=6.]

Passo 4

Cálculo do segundo menor (associado ao elemento 2 da primeira linha), lembrando o sinal negativo da posição:
\begin{vmatrix}4 & 12\\[4pt]5 & 9\end{vmatrix}=4\cdot9-12\cdot5=36-60=-24.
Termo correspondente na expansão:
-2\times(-24)=+48.]

Passo 5

Cálculo do terceiro menor (associado ao elemento 4 da primeira linha):
\begin{vmatrix}4 & 10\\[4pt]5 & 7\end{vmatrix}=4\cdot7-10\cdot5=28-50=-22.
Termo correspondente na expansão:
+4\times(-22)=-88.]

Passo 6

Somando os três termos para obter \det A:
\det A=6+48-88=54-88=-34.

Passo 7

Verificação alternativa usando operações de linhas (para treinar o uso da propriedade que não altera o determinante):
  • Aplicar R_2\leftarrow R_2-4R_1 e R_3\leftarrow R_3-5R_1 (essas operações não mudam o determinante). Obtém-se
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 2 & -4\\[4pt] 0 & -3 & -11 \end{pmatrix}.
  • Agora eliminar o elemento -3 com R_3\leftarrow R_3+\tfrac{3}{2}R_2 (também não altera o determinante):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 2 & -4\\[4pt] 0 & 0 & -17 \end{pmatrix}.
  • A matriz ficou triangular superior; o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal:
\det A=1\cdot2\cdot(-17)=-34,
confirmando o resultado anterior.]

Resposta

-34

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