Observação rápida (sem começar a resolver ainda): a forma escalonada reduzida por linhas exige que cada linha não nula tenha um primeiro 1 (chamado de pivô), que cada pivô seja o único elemento não nulo em sua coluna, que os pivôs apareçam à direita dos pivôs das linhas acima, e que linhas nulas (se houver) fiquem abaixo das não nulas. Para chegar lá podemos usar as operações elementares por linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, e somar a um linha um múltiplo de outra linha. Vou aplicar essas operações passo a passo.
Passo 2
Escolher o pivô da primeira coluna e posicioná-lo na primeira linha.
A primeira coluna tem entrada 0 na primeira linha, então trocamos a linha 1 com uma linha que tenha entrada não nula nessa coluna. Vou trocar R_1 com R_2 (por conveniência).
Explicação didática: uma primeira coluna com um zero na primeira linha impede ter um pivô ali; trocar linhas é permitido e nos dá um elemento não nulo na posição (1,1) para começar a eliminação.
Passo 3
Zerar entradas abaixo do pivô na primeira coluna (criar zeros nas linhas 2 e 3 da coluna 1).
Neste momento a entrada em (1,1) é 2. Para eliminar o elemento na entrada (3,1) (que também é 2), uso R_3 := R_3 - R_1.
Explicação didática: para zerar um elemento abaixo do pivô, subtrai-se um múltiplo apropriado da linha-pivô; aqui o múltiplo foi 1 porque os dois primeiros elementos eram iguais. Essa é a eliminação gaussiana básica.
Passo 4
Normalizar o pivô da primeira linha para 1 (fazendo o pivô exatamente igual a 1).
Operação: dividir a primeira linha por 2: R_1 := \tfrac{1}{2}R_1.
Explicação didática: na RREF cada pivô deve ser 1. Podemos dividir a linha por um escalar não nulo para tornar o pivô 1. Fazer isto mais cedo ou mais tarde não altera a possibilidade de chegar à RREF, mas facilita os cálculos seguintes ao trabalhar com 1 como pivô.
Passo 5
Escolher e usar o pivô da segunda coluna (linha 2 já tem pivô).
A entrada em (2,2) é 1, já é um pivô apropriado. Agora devemos zerar todas as outras entradas na coluna 2, tanto abaixo quanto acima do pivô, para satisfazer a condição da forma escalonada reduzida.
Faremos duas eliminações:
Eliminar o elemento em (1,2) que é \tfrac{1}{2}: operação R_1 := R_1 - \tfrac{1}{2}R_2.
Eliminar o elemento em (3,2) que é 2: operação R_3 := R_3 - 2R_2.
Explicação didática: para estar em RREF, cada coluna de pivô precisa ter zeros em todas as outras posições; por isso subtraímos múltiplos da linha-pivô das outras linhas para anular as entradas correspondentes. Note que a terceira linha virou a linha nula, o que é perfeitamente normal.
Passo 6
Verificar se a matriz já está na forma escalonada reduzida por linhas.
Agora temos pivôs 1 nas posições (1,1) e (2,2).
Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna (coluna 1 e coluna 2 têm zeros fora dos pivôs).
As linhas não nulas aparecem acima da(s) linha(s) nula(s).
Os pivôs avançam para a direita ao descer nas linhas.
Portanto a matriz já está na forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Não há necessidade de criar um pivô na coluna 3 porque a coluna 3 não tem uma combinação que permita um pivô sem introduzir inconsistências — ela corresponde a uma coluna de coeficientes dependentes relativamente aos pivôs existentes e gera a linha nula ao eliminar.
Explicação didática final: quando chegar a uma linha nula, significa que uma equação é redundante (dependente linearmente das outras). A forma escalonada reduzida é única e, neste caso, é a matriz obtida no passo anterior.