Calculo de um determinantes

Calcular:
\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{lll} 2 & 1 & 7 \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 5 & 3 & 4 \end{array}\right|
\begin{aligned} & \operatorname{det} A=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 7 \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 5 & 3 & 4 \end{array}\right| \longrightarrow L_{1}\left(\frac{1}{2}\right) \\\ & \operatorname{det} A=2 \times\left|\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{7}{2} \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 5 & 3 & 4 \end{array}\right| \longrightarrow L_{2}=L_{2}+L_{1}(-1) \\\ & \operatorname{det} A=2 \times\left|\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{7}{2} \\\\ 0 & \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} \\\\ 5 & 3 & 4 \end{array}\right| \longrightarrow L_{3}=L_{3}+L_{1}(-5) \\\ & \operatorname{det} A=2 \times\left|\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{7}{2} \\\\ 0 & \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{27}{2} \end{array}\right| \longrightarrow L_{2}\left(\frac{2}{5}\right) \\\ & \operatorname{det} A=2 \times \frac{5}{2} \times\left|\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{7}{2} \\\\ 0 & 1 & -\frac{6}{10} \\\\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{27}{2} \end{array}\right| \longrightarrow L_{3}=L_{3}+L_{2}\left(-\frac{1}{2}\right) \end{aligned}
O termo principal é: \quad T=1 \times 1 \times\left(-\frac{132}{10}\right)=-\frac{132}{10},
logo:
\operatorname{det} A=2 \times \frac{5}{2} \times\left(-\frac{132}{10}\right)=\frac{10}{2} \times\left(-\frac{132}{10}\right)=-\frac{132}{2}=-66

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 7\\[4pt] 1 & 3 & 2\\[4pt] 5 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
Portanto a tarefa é calcular
\det A=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 7\\[4pt] 1 & 3 & 2\\[4pt] 5 & 3 & 4 \end{array}\right|.]

Passo 2

Uma forma direta e prática para matrizes 3\times3 é a regra de Sarrus. Vou explicá‑la de forma simples.
Escreve‑se a matriz e repete‑se as duas primeiras colunas à direita, formando algo assim (mostrado de forma conceitual):
\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{matrix}.
A regra diz que
\det A=(\text{soma dos produtos das 3 diagonais descendentes})-(\text{soma dos produtos das 3 diagonais ascendentes}).
Ou, explicitamente,
\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Aqui cada a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j.]

Passo 3

Agora aplico a regra de Sarrus na nossa matriz, identificando os a_{ij}:
a_{11}=2,\quad a_{12}=1,\quad a_{13}=7,
a_{21}=1,\quad a_{22}=3,\quad a_{23}=2,
a_{31}=5,\quad a_{32}=3,\quad a_{33}=4.
Calculo os produtos das diagonais descendentes:
a_{11}a_{22}a_{33}=2\cdot3\cdot4,
a_{12}a_{23}a_{31}=1\cdot2\cdot5,
a_{13}a_{21}a_{32}=7\cdot1\cdot3.

Passo 4

Avalio numericamente as expressões do passo anterior:
2\cdot3\cdot4=24, \qquad 1\cdot2\cdot5=10, \qquad 7\cdot1\cdot3=21.
Somando as diagonais descendentes:
24+10+21=55.

Passo 5

Agora calcule as diagonais ascendentes (os termos que serão subtraídos):
a_{13}a_{22}a_{31}=7\cdot3\cdot5=105,
a_{11}a_{23}a_{32}=2\cdot2\cdot3=12,
a_{12}a_{21}a_{33}=1\cdot1\cdot4=4.
Somando essas três:
105+12+4=121.

Passo 6

Subtraio a soma das ascendentes da soma das descendentes:
\det A = 55 - 121 = -66.

Passo 7

Para reforçar o entendimento, apresento um método alternativo (eliminação por linhas) que confirma o resultado e mostra propriedades úteis das operações elementares:
  • Operação usada: substituir uma linha por ela menos um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
    Partindo de
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 7\\[4pt] 1 & 3 & 2\\[4pt] 5 & 3 & 4 \end{pmatrix},
faço L_2 \leftarrow L_2 - \tfrac{1}{2}L_1 e L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac{5}{2}L_1. Como essas são adições de múltiplos de uma linha a outra, o determinante permanece o mesmo. Obtenho
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 7\\[4pt] 0 & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{27}{2} \end{pmatrix}.
Em seguida faço L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac{1}{5}L_2 (novamente operação que preserva o determinante), obtendo a matriz triangular superior
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 7\\[4pt] 0 & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{132}{10} \end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal, portanto
\det A = 2 \times \tfrac{5}{2} \times \left(-\tfrac{132}{10}\right) = -66,
confirmando o resultado obtido pela regra de Sarrus.]

Passo 8

Resumo e ânimo: o determinante foi calculado de duas formas (Sarrus e eliminação), ambas dando -66. Está tudo conferido — respira que deu certo! Você já tem um jeito rápido (Sarrus) para prova e um jeito robusto (eliminação) para entender o comportamento das operações.

Resposta

-66

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