Sejam
conjuntos arbitrários. Marque com V as afirmações abaixo que forem sempre verdadeiras (quaisquer que sejam
):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação
é sempre verdadeira para quaisquer conjuntos
e
em
. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente o fechamento de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ou
. O fechamento de um conjunto
inclui todos os pontos de
mais os seus pontos de acumulação (limites). Ou seja,
é o menor conjunto fechado que contém
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o fechamento da união
. O fechamento
inclui todos os pontos de
, de
e todos os pontos de acumulação da união.
Passo 4
Por outro lado,
é a união dos fechamentos individuais de
e
, ou seja, inclui todos os pontos de
, de
e todos os pontos de acumulação de
e de
separadamente.
Passo 5
Vamos ver se esses dois conjuntos são iguais. Se um ponto é um ponto de acumulação de
, ele deve ser um ponto de acumulação de pelo menos
ou de
. Portanto, todo fechamento de
está contido em
.
Passo 6
Além disso, todo ponto em
está definitivamente no fechamento de
, já que
contém ambos os conjuntos
e
.
Passo 7
Assim, concluímos que
é sempre verdadeiro para quaisquer conjuntos
e
em
.
Resposta
Verdadeiro.
é sempre verdadeiro.