Sejam A, B, Aell subseteq R^n conjuntos arbitrários. Marque com V as afirmações abaixo que forem sempre verdadeiras (quaisquer que sejam A, B, Aell ):
() cl(A cup B)=barA cup barB

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação cl(A cup B) = barA cup barB é sempre verdadeira para quaisquer conjuntos A e B em R^n. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente o fechamento de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cl(A) ou barA. O fechamento de um conjunto A inclui todos os pontos de A mais os seus pontos de acumulação (limites). Ou seja, barA é o menor conjunto fechado que contém A.

Passo 3

Agora, vamos analisar o fechamento da união A cup B. O fechamento cl(A cup B) inclui todos os pontos de A, de B e todos os pontos de acumulação da união.

Passo 4

Por outro lado, barA cup barB é a união dos fechamentos individuais de A e B, ou seja, inclui todos os pontos de A, de B e todos os pontos de acumulação de A e de B separadamente.

Passo 5

Vamos ver se esses dois conjuntos são iguais. Se um ponto é um ponto de acumulação de A cup B, ele deve ser um ponto de acumulação de pelo menos A ou de B. Portanto, todo fechamento de A cup B está contido em barA cup barB.

Passo 6

Além disso, todo ponto em barA cup barB está definitivamente no fechamento de A cup B, já que A cup B contém ambos os conjuntos A e B.

Passo 7

Assim, concluímos que cl(A cup B) = barA cup barB é sempre verdadeiro para quaisquer conjuntos A e B em R^n.

Resposta

Verdadeiro. cl(A cup B) = barA cup barB é sempre verdadeiro.

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