Uma massa de 120 g de vapor de água a 110^{\circ} \mathrm{C} é misturada com 550 g de gelo a \cdot 10^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{cm} um recipiente térmicamente isolado. Determine a temperatura de equilibrio ( T_{e q} ), considerando que, ao final do processo. toda a substância se encontra no estado líquido. Considere os seguintes dados:
  • Calor especifico do gelo: c_{\mathrm{gclo}}=0,50 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}
  • Calor especifico da água líquida: c_{\text {spia }}=1,00 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}
  • Calor especifico do vapor de água: c_{\text {vapor }}=0,48 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}
  • Calor latente de fusão: L_{f}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}
  • Calor latente de vaporização: L_{s}=540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores diretamente do enunciado):
  • O que o enunciado pede: determinar a temperatura de equilíbrio T_{eq}, sabendo que ao final toda a substância está no estado líquido.
  • Massas e temperaturas iniciais:
    • Massa do vapor: m_{\text{vapor}}=120\\ \text{g} à temperatura inicial T_{\text{vapor,i}}=110^\circ\mathrm{C}.
    • Massa do gelo: m_{\text{gelo}}=550\\ \text{g} à temperatura inicial T_{\text{gelo,i}}=-10^\circ\mathrm{C}.
      (Interpretei o enunciado como gelo a -10^\circ\mathrm{C}.)
  • Dados termofísicos fornecidos:
    • Calor específico do gelo: c_{\text{gelo}}=0,50\\ \text{cal}/\text{g}^\circ\mathrm{C}.
    • Calor específico da água líquida: c_{\text{água}}=1,00\\ \text{cal}/\text{g}^\circ\mathrm{C}á.
    • Calor específico do vapor: c_{\text{vapor}}=0,48\\ \text{cal}/\text{g}^\circ\mathrm{C}.
    • Calor latente de fusão: L_f=80\\ \text{cal}/\text{g}.
    • Calor latente de vaporização: L_s=540\\ \text{cal}/\text{g}.
  • Condição final importante: toda a massa final está no estado líquido (logo T_{eq} estará entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}, se o enunciado estiver consistente).

Passo 2

Princípio de conservação de energia térmica num sistema isolado (recipiente isolado): o calor total trocado é zero. Em prática: o calor perdido pelas partes quentes deve ser igual ao calor ganho pelas partes frias.
Fórmulas úteis (lembrete didático):
  • Calor para variar temperatura (sem mudança de fase): Q = m\,c\,\Delta T, onde m é a massa (g), c é o calor específico ( \text{cal}/\text{g}^\circ\mathrm{C}) e \Delta T é a variação de temperatura ( ^\circ\mathrm{C}). Se o corpo esfria, Q é negativo (perde calor); se aquece, Q é positivo (ganha calor).
  • Calor para mudança de fase (à temperatura de mudança de fase): Q = m\,L, onde L é o calor latente ( \text{cal}/\text{g}). Para condensação (vapor \to líquido) o vapor libera mL_s. Para fusão (gelo \to água) o gelo absorve mL_f.
Vou escrever explicitamente os termos que aparecem no balanço térmico para este problema.

Passo 3

Calor perdido pela porção de vapor ao esfriar de 110^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m_{\text{vapor}}\; c_{\text{vapor}}\; (T_{\text{vapor,i}} - 100^\circ\mathrm{C}).
Substituindo números:
Q_1 = 120\cdot 0,48\cdot (110-100) = 120\cdot 0,48\cdot 10 = 576\\ \text{cal}.

Passo 4

Calor liberado pela condensação de todo o vapor (vapor \to água líquida) a 100^\circ\mathrm{C}:
Q_2 = m_{\text{vapor}}\; L_s = 120\cdot 540 = 64\,800\\ \text{cal}.

Passo 5

Depois de condensado, essa água (vinda do vapor) pode ainda esfriar de 100^\circ\mathrm{C} até a temperatura final T_{eq}. Calor perdido por essa massa:
Q_3 = m_{\text{vapor}}\; c_{\text{água}}\; (100^\circ\mathrm{C} - T_{eq}).á
Substituindo m_{\text{vapor}}=120\\ \text{g} e c_{\text{água}}=1,00á:
Q_3 = 120\cdot 1{,}00\cdot (100 - T_{eq}) = 12\,000 - 120\,T_{eq}\\ \text{cal}.

Passo 6

Somando as parcelas de calor liberado pelo vapor (total de calor perdido pelo vapor e pela água resultante da sua condensação):
Q_{\text{perdido}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 576 + 64\,800 + (12\,000 - 120\,T_{eq}).
Somando os termos constantes:
Q_{\text{perdido}} = 77\,376 - 120\,T_{eq}\quad(\text{cal}).

Passo 7

Agora os termos de calor absorvido pelo gelo e pela água formada a partir do gelo.
Primeiro: aquecer o gelo de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_4 = m_{\text{gelo}}\; c_{\text{gelo}}\; (0^\circ\mathrm{C} - T_{\text{gelo,i}}).
Substituindo:
Q_4 = 550\cdot 0{,}50\cdot (0 - (-10)) = 550\cdot 0{,}50\cdot 10 = 2\,750\\ \text{cal}.

Passo 8

Segundo: fusão do gelo a 0^\circ\mathrm{C} (absorve calor):
Q_5 = m_{\text{gelo}}\; L_f = 550\cdot 80 = 44\,000\\ \text{cal}.

Passo 9

Terceiro: aquecer a água resultante da fusão (massa 550\\ \text{g}) de 0^\circ\mathrm{C} até T_{eq}:
Q_6 = m_{\text{gelo}}\; c_{\text{água}}\; (T_{eq} - 0^\circ\mathrm{C}) = 550\cdot 1{,}00\cdot T_{eq} = 550\,T_{eq}\\ \text{cal}.á

Passo 10

Somando as parcelas de calor absorvido pelo gelo e pela água formada:
Q_{\text{ganho}} = Q_4 + Q_5 + Q_6 = 2\,750 + 44\,000 + 550\,T_{eq} = 46\,750 + 550\,T_{eq}\quad(\text{cal}).

Passo 11

Balanço de energia (sistema isolado): o calor perdido pelo vapor deve ser igual ao calor ganho pelo gelo:
Q_{\text{perdido}} = Q_{\text{ganho}}.
Substituindo as expressões:
77\,376 - 120\,T_{eq} = 46\,750 + 550\,T_{eq}.
Agora resolvemos para T_{eq}. Primeiro, somar os termos em T_{eq} no mesmo lado:
77\,376 - 46\,750 = 550\,T_{eq} + 120\,T_{eq}.
Calcular os números:
30\,626 = 670\,T_{eq}.
Logo:
T_{eq} = \dfrac{30\,626}{670} \approx 45{,}71^\circ\mathrm{C}.

Passo 12

Verificação e interpretação final: o valor encontrado T_{eq}\approx 45{,}71^\circ\mathrm{C} está entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}, portanto é consistente com a hipótese do enunciado de que, ao final, toda a substância está no estado líquido. Tudo bate certinho.
Força aí — esse tipo de balanço energético é sempre o mesmo passo a passo: identificar as partes que perdem e ganham calor, escrever Q=m c \Delta T para trocas de temperatura e Q=mL para mudanças de fase, e igualar perdas com ganhos.

Resposta

T_{eq}\approx 45{,}71^\circ\mathrm{C}

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