Um sistema bloco-mola é colocado para oscilar dentro de um meio viscoso sob a ação de uma força periódica
A massa do bloco é
, a constante elástica da mola é
e o coeficiente de amortecimento do meio é
. A frequência da força externa é ajustada à frequência natural do sistema, e o movimento entra no regime estacionário,(a) Qual é o máximo da magnitude da força aplicada no sistema?
(b) Qual é o maior deslocamento em relação à posição de equilíbrio?
(b) Qual é o maior deslocamento em relação à posição de equilíbrio?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Qual é o máximo da magnitude da força aplicada no sistema.
- (b) Qual é o maior deslocamento em relação à posição de equilíbrio no regime estacionário quando a frequência externa é ajustada à frequência natural do sistema.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
- A força externa é
- Massa:
- Constante elástica:
- Coeficiente de amortecimento:
- A frequência da força externa
é ajustada à frequência natural do sistema (ou seja iguala a frequência natural) e o movimento está no regime estacionário (resposta forçada senoidal permanente).
Passo 2
Primeira tarefa: achar o máximo da magnitude da força
.
Dica/ideia: qualquer combinação linear de
e
com mesmas frequência pode ser escrita como uma só senoide com amplitude única. Em geral, se temos
, existe uma amplitude
tal que
onde
Explicando por que: pense em
e
como componentes cartesianos de um vetor (ou fasor) cuja magnitude é a raiz quadrada da soma dos quadrados — geometria elementar do seno e cosseno.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso:
e
. Então a amplitude máxima da força é
Calculemos passo a passo:
logo
Portanto o valor máximo instantâneo da magnitude de
é
. (Em termos de senoide,
para algum
, mas só precisávamos da amplitude.)
Passo 4
Agora a segunda tarefa: achar o maior deslocamento (amplitude) no regime estacionário quando
é a frequência natural do sistema.
Primeiro, escrevemos a equação do movimento do sistema massa-mola-amortecedor forçado:
Aqui
é a aceleração,
a velocidade e
o deslocamento;
é a força externa já dada.
No regime estacionário (solução particular forçada senoidal), para uma força harmônica de amplitude
e frequência
a resposta também é senoidal da mesma frequência, com amplitude
e defasagem
:
Passo 5
Método (phasor/impedância) — derivação da fórmula da amplitude
:
Substituindo a solução particular na equação diferencial e usando álgebra complexa (método padrão, explico de forma didática): suponha força
e resposta
com
número complexo. Ao substituir no lado complexo obtemos
Isto define
A amplitude real
que queremos é o módulo de
:
Explicando termos:
-
vem da diferença entre rigidez e termo inercial (é zero na ressonância não amortecida). -
é o termo associado ao amortecimento, e impede amplitude infinita no caso ideal.
Passo 6
Agora usemos a informação de que a frequência externa foi ajustada à frequência natural do sistema. A frequência natural (não amortecida) do oscilador é
Calculemos numericamente:
Passo 7
Avaliação da expressão da amplitude para
.
Quando
temos
. Então a fórmula da amplitude simplifica bastante para
Isto tem interpretação física direta: na ressonância (frequência natural), a resposta é limitada apenas pelo amortecimento
— quanto menor
, maior
.
Passo 8
Substituindo os valores numéricos:
-
(do Passo 3), -
, -
.
Calculemos:
Então
Passo 9
Interpretação e verificação rápida: amplitude de
é enorme — isso vem do fato de o amortecimento
ser muito pequeno; em problemas reais um deslocamento tão grande indicaria que nosso modelo linear é inválido fora de pequenas oscilações (ou que haveria falha física). Para a prova, o procedimento e o número estão corretos matematicamente: amplitude na ressonância simples é
.
Resposta
(a)
(b)
(b)