Um sistema bloco-mola é colocado para oscilar dentro de um meio viscoso sob a ação de uma força periódica
F(t)=[30 \cos (\Omega t)+40 \sin (\Omega t)] N .
A massa do bloco é m=2 \mathrm{~kg}, a constante elástica da mola é k=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e o coeficiente de amortecimento do meio é b=0.04 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A frequência da força externa é ajustada à frequência natural do sistema, e o movimento entra no regime estacionário,(a) Qual é o máximo da magnitude da força aplicada no sistema?
(b) Qual é o maior deslocamento em relação à posição de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Qual é o máximo da magnitude da força aplicada no sistema.
  2. (b) Qual é o maior deslocamento em relação à posição de equilíbrio no regime estacionário quando a frequência externa é ajustada à frequência natural do sistema.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
  • A força externa é F(t)=[30\cos(\Omega t)+40\sin(\Omega t)]\\ \mathrm{N}.
  • Massa: m=2\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica: k=50\\ \mathrm{N/m}.
  • Coeficiente de amortecimento: b=0,04\\ \mathrm{kg/s}.
  • A frequência da força externa \Omega é ajustada à frequência natural do sistema (ou seja \Omega iguala a frequência natural) e o movimento está no regime estacionário (resposta forçada senoidal permanente).

Passo 2

Primeira tarefa: achar o máximo da magnitude da força F(t).
Dica/ideia: qualquer combinação linear de \cos(\Omega t) e \sin(\Omega t) com mesmas frequência pode ser escrita como uma só senoide com amplitude única. Em geral, se temos A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t), existe uma amplitude F_0 tal que
A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t)=F_0\cos(\Omega t-\varphi),
onde
F_0=\sqrt{A^2+B^2}.
Explicando por que: pense em A e B como componentes cartesianos de um vetor (ou fasor) cuja magnitude é a raiz quadrada da soma dos quadrados — geometria elementar do seno e cosseno.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: A=30 e B=40. Então a amplitude máxima da força é
F_0=\sqrt{30^2+40^2}.
Calculemos passo a passo:
30^2=900,\qquad 40^2=1600,\qquad 900+1600=2500,
logo
F_0=\sqrt{2500}=50\\ \mathrm{N}.
Portanto o valor máximo instantâneo da magnitude de F(t) é 50\\ \mathrm{N}. (Em termos de senoide, F(t)=50\cos(\Omega t-\varphi) para algum \varphi, mas só precisávamos da amplitude.)

Passo 4

Agora a segunda tarefa: achar o maior deslocamento (amplitude) no regime estacionário quando \Omega é a frequência natural do sistema.
Primeiro, escrevemos a equação do movimento do sistema massa-mola-amortecedor forçado:
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F(t).
Aqui \ddot{x} é a aceleração, \dot{x} a velocidade e x o deslocamento; F(t) é a força externa já dada.
No regime estacionário (solução particular forçada senoidal), para uma força harmônica de amplitude F_0 e frequência \Omega a resposta também é senoidal da mesma frequência, com amplitude X e defasagem \varphi:
x(t)=X\cos(\Omega t-\varphi).

Passo 5

Método (phasor/impedância) — derivação da fórmula da amplitude X:
Substituindo a solução particular na equação diferencial e usando álgebra complexa (método padrão, explico de forma didática): suponha força F(t)=\Re\{F_0 e^{i\Omega t}\} e resposta x(t)=\Re\{X_c e^{i\Omega t}\} com X_c número complexo. Ao substituir no lado complexo obtemos
(-m\Omega^2 + i b \Omega + k)X_c = F_0.
Isto define X_c = \dfrac{F_0}{k - m\Omega^2 + i b\Omega}.
A amplitude real X que queremos é o módulo de X_c:
X=\left|X_c\right|=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(b\Omega)^2}}.
Explicando termos:
  • k-m\Omega^2 vem da diferença entre rigidez e termo inercial (é zero na ressonância não amortecida).
  • b\Omega é o termo associado ao amortecimento, e impede amplitude infinita no caso ideal.

Passo 6

Agora usemos a informação de que a frequência externa foi ajustada à frequência natural do sistema. A frequência natural (não amortecida) do oscilador é
\Omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Calculemos numericamente:
\Omega=\Omega_n=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Avaliação da expressão da amplitude para \Omega=\Omega_n.
Quando \Omega=\Omega_n temos k-m\Omega^2=0. Então a fórmula da amplitude simplifica bastante para
X=\frac{F_0}{b\Omega}.
Isto tem interpretação física direta: na ressonância (frequência natural), a resposta é limitada apenas pelo amortecimento b — quanto menor b, maior X.

Passo 8

Substituindo os valores numéricos:
  • F_0=50\\ \mathrm{N} (do Passo 3),
  • b=0,04\\ \mathrm{kg/s},
  • \Omega=5\\ \mathrm{rad/s}.
Calculemos:
b\Omega=0,04\times 5=0,20\\ \mathrm{kg/s^2}.
Então
X=\frac{50}{0,20}=250\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Interpretação e verificação rápida: amplitude de 250\\ \mathrm{m} é enorme — isso vem do fato de o amortecimento b ser muito pequeno; em problemas reais um deslocamento tão grande indicaria que nosso modelo linear é inválido fora de pequenas oscilações (ou que haveria falha física). Para a prova, o procedimento e o número estão corretos matematicamente: amplitude na ressonância simples é F_0/(b\Omega).

Resposta

(a) 50\\ \mathrm{N}
(b) 250\\ \mathrm{m}

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