3- Uma massa de 20 kg é presa a uma mola com rigidez de
. a constante de amortecimento para o sistema é de
. Se a massa for empurrada 25 cm para a direita do equilibrio e receber uma velocidade inicial para a esquerda de
, quando ela retornará primeiro à sua posição de equilíbrio?
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor sem força externa. Temos massa
,kg, rigidez da mola
,N/m e amortecimento com coeficiente
,N·s/m. A equação de movimento livre é
As condições iniciais são
,m (à direita do equilíbrio) e
,m/s (para a esquerda). Vamos ver se o sistema é subamortecido (oscila), criticamente amortecido ou sobreamortecido (decai sem cruzar o equilíbrio).
Passo 2
Calculemos o discriminante da equação característica
Como
, o sistema é sobreamortecido e não haverá oscilações, mas sim duas soluções reais e negativas.
Passo 3
As raízes da característica são
Logo
Passo 4
A solução geral do movimento é
Impondo
e
, temos o sistema
Passo 5
Resolvendo para
e
: substituindo
em
dá
Passo 6
Portanto
Para ver quando retorna ao equilíbrio, buscaríamos
, isto é
Passo 7
Mas
e
para todo
, enquanto os coeficientes
e
são positivos. Logo a soma nunca se anula para
; a massa decai monotonamente de
para
, aproximando-se assintoticamente do equilíbrio sem cruzá-lo em tempo finito.
Resposta
A massa nunca retorna exatamente ao ponto de equilíbrio em tempo finito; ela se aproxima dele assintoticamente quando
.