3- Uma massa de 20 kg é presa a uma mola com rigidez de 200 N / m. a constante de amortecimento para o sistema é de 140 N-s / m. Se a massa for empurrada 25 cm para a direita do equilibrio e receber uma velocidade inicial para a esquerda de 1 m / s, quando ela retornará primeiro à sua posição de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor sem força externa. Temos massa m=20,kg, rigidez da mola k=200,N/m e amortecimento com coeficiente c=140,N·s/m. A equação de movimento livre é
m,x''(t)+c,x'(t)+k,x(t)=0
As condições iniciais são x(0)=0,25,m (à direita do equilíbrio) e x'(0)=-1,m/s (para a esquerda). Vamos ver se o sistema é subamortecido (oscila), criticamente amortecido ou sobreamortecido (decai sem cruzar o equilíbrio).

Passo 2

Calculemos o discriminante da equação característica
De<a = c^2 - 4,m,k = 140^2 - 4cdot20cdot200 = 19600 - 16000 = 3600
Como De<a>0, o sistema é sobreamortecido e não haverá oscilações, mas sim duas soluções reais e negativas.

Passo 3

As raízes da característica são
r1,2 = -c pm raizDe<a2,m = -140 pm 6040
Logo
r1 = -140 + 6040 = -2, r2 = -140 - 6040 = -5

Passo 4

A solução geral do movimento é
x(t) = A,e^-2t + B,e^-5t
Impondo x(0)=0,25 e x'(0)=-1, temos o sistema
A + B = 0,25, -2A -5B = -1

Passo 5

Resolvendo para A e B: substituindo B=0,25-A em -2A-5B=-1
-2A -5(0,25-A) = -1 ;Rightarrow; -2A -1,25 +5A = -1 ;Rightarrow; 3A = 0,25 ;Rightarrow; A = tfrac112, B = tfrac16

Passo 6

Portanto
x(t) = tfrac112e^-2t + tfrac16e^-5t
Para ver quando retorna ao equilíbrio, buscaríamos x(t)=0, isto é
tfrac112e^-2t + tfrac16e^-5t = 0

Passo 7

Mas e^-2t>0 e e^-5t>0 para todo t, enquanto os coeficientes tfrac112 e tfrac16 são positivos. Logo a soma nunca se anula para t<infty; a massa decai monotonamente de 0,25 para 0, aproximando-se assintoticamente do equilíbrio sem cruzá-lo em tempo finito.

Resposta

A massa nunca retorna exatamente ao ponto de equilíbrio em tempo finito; ela se aproxima dele assintoticamente quando ttoinfty.

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