Mostre, a partir da definição de integral (limite da soma de Riemann), que:
integral0^1 x d x=12

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^1x,dx usando a definição de integral de Riemann (limite de somas de Riemann). Vamos usar que f(x)=x é contínua em [0,1], portanto integrável, e aplicar a soma de Riemann em partições uniformes.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,1] em n subintervalos de igual largura
De<a x = 1n
e definimos a partição
xi = in, i=0,1,dots,n

Passo 3

Escolhemos como pontos de amostragem os extremos direitos de cada subintervalo, isto é, xi^*=xi para i=1,dots,n. A soma de Riemann associada é
Sn = sumi=1^n f(xi^*),De<a x = sumi=1^n incdot1n = 1n^2sumi=1^n i

Passo 4

Usamos a fórmula da soma dos n primeiros inteiros:
sumi=1^n i = n(n+1)2
Logo
Sn = 1n^2cdotn(n+1)2 = n+12n

Passo 5

Fazendo ntoinfty, obtemos
limntoinfty Sn = limntoinftyn+12n = 12
Isso mostra que
integral0^1x,dx = tfrac12.

Resposta

integral0^1x,dx = 12

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