Mostre, a partir da definição de integral (limite da soma de Riemann), que:
integrala^b x^2 d x=b^3-a^33

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integrala^b x^2,dx
usando a definição de integral como limite de soma de Riemann. Vamos lembrar que, para uma função f contínua em [a,b],
integrala^b f(x),dx =limntoinftysumi=1^nf(xi^*),De<a x,
onde dividimos [a,b] em n subintervalos de largura De<a x=(b-a)/n e xi^* é um ponto de amostragem em cada subintervalo.

Passo 2

Escolhemos partição uniforme e pontos à direita:
De<a x=b-an, xi=a+i,De<a x,
para i=1,2,dots,n. A soma de Riemann fica
Sn=sumi=1^n (xi)^2,De<a x =sumi=1^nl(a+i,De<a xr)^2,De<a x

Passo 3

Expandindo l(a+i,De<a xr)^2=a^2+2a,i,De<a x+(i,De<a x)^2, obtemos
Sn =sumi=1^nl(a^2+2a,i,De<a x+i^2,De<a x^2r),De<a x =a^2sumi=1^nDe<a x +2a,De<a x^2sumi=1^n i +De<a x^3sumi=1^n i^2

Passo 4

Usamos as fórmulas
sumi=1^n1=n, sumi=1^n i=n(n+1)2, sumi=1^n i^2=n(n+1)(2n+1)6
Como De<a x=(b-a)/n,
Sn =a^2,n,De<a x +2a,De<a x^2,n(n+1)2 +De<a x^3,n(n+1)(2n+1)6
Substituindo De<a x e simplificando em função de n, chega-se a
Sn =a^2(b-a) +a(b-a)^2n+1n +(b-a)^3(n+1)(2n+1)6n^2

Passo 5

Fazendo ntoinfty, nota-se que tfracn+1nto1 e tfrac(n+1)(2n+1)6n^2totfrac13. Logo
limntoinftySn =a^2(b-a) +a(b-a)^2 +(b-a)^33
Basta então expandir e combinar termos para obter
limntoinftySn =b^3-a^33

Resposta

integrala^b x^2,dx=b^3-a^33

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