Uma massa de 40 g de água a temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}, são misturados 40 g de água a temperatura 0^{\circ} \mathrm{C}. Qual é, em °C, a temperatura final da água? (cágua = 1 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C} )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Massa de água quente: m_1 = 40\\ \mathrm{g} com temperatura inicial T_1 = 30^\circ\mathrm{C}.
  • Massa de água fria: m_2 = 40\\ \mathrm{g} com temperatura inicial T_2 = 0^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico da água: c_{\text{água}} = 1\\ \mathrm{cal}\,/(\mathrm{g}\cdot{}^\circ\mathrm{C})á (isso foi dado).
    O que o exercício pede: determinar a temperatura final T_f da mistura, em ^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado devagar): quando misturamos os dois corpos e não há perda de calor para o ambiente, a energia térmica total se conserva. Ou seja, o calor perdido pelo corpo mais quente é igual ao calor ganho pelo corpo mais frio.
Fórmula do calor trocado por um corpo ao mudar de temperatura:
q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • q é o calor trocado (positiva se o corpo ganha calor, negativa se perde),
  • m é a massa do corpo (em \mathrm{g} aqui),
  • c é o calor específico (em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{}^\circ\mathrm{C})),
  • \Delta T é a variação de temperatura, \Delta T = T_f - T_{\text{inicial}} (em ^\circ\mathrm{C}).
Usaremos a convenção: se T_f for menor que T_1, o corpo 1 perde calor (seu q será negativo); se T_f for maior que T_2, o corpo 2 ganha calor (seu q será positivo). A equação de conservação de energia é:
q_1 + q_2 = 0.

Passo 3

Escrevendo q_1 e q_2 com a fórmula:
q_1 = m_1\,c\,(T_f - T_1), \qquad q_2 = m_2\,c\,(T_f - T_2).
Substituindo na conservação:
m_1\,c\,(T_f - T_1) + m_2\,c\,(T_f - T_2) = 0.
Observação: o c é o mesmo para as duas por serem ambas água; podemos simplificar na equação.

Passo 4

Agora plugamos os valores dados (peguei os números do enunciado):
m_1 = 40,\quad T_1 = 30,\quad m_2 = 40,\quad T_2 = 0,\quad c = 1.
A equação fica:
40\cdot 1\cdot (T_f - 30) + 40\cdot 1\cdot (T_f - 0) = 0.
Simplificando:
40(T_f - 30) + 40 T_f = 0.
Desenvolvendo os parênteses:
40T_f - 1200 + 40T_f = 0.
Somando os termos em T_f:
80T_f - 1200 = 0.
Isolando T_f:
80T_f = 1200 \quad\Rightarrow\quad T_f = \frac{1200}{80} = 15.

Passo 5

Interpretação e atalho (bem prático para prova): como as massas são iguais e o calor específico é o mesmo, a temperatura final é simplesmente a média aritmética das temperaturas iniciais:
T_f = \frac{T_1 + T_2}{2} = \frac{30 + 0}{2} = 15^\circ\mathrm{C}.
Se as massas fossem diferentes, usar-se-ia a média ponderada \displaystyle T_f=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2}. Exemplo rápido: se fossem 30\\ \mathrm{g} a 50^\circ\mathrm{C} e 70\\ \mathrm{g} a 10^\circ\mathrm{C}, então \displaystyle T_f=\frac{30\cdot50+70\cdot10}{30+70}=\frac{1500+700}{100}=22^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Resumo final: seguindo conservação de energia e fazendo as contas passo a passo, a temperatura final da mistura é 15^\circ\mathrm{C}. Você conseguiu — esse tipo de problema é sempre igual na prova: aplica-se q=m c \Delta T e soma zero. Respira, repete alguns exemplos com massas diferentes e vai tranquilo.

Resposta

15^\circ\mathrm{C}

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