1.3- A seguinte equação é dimensionalmente homogênea.
F=\frac{4 E y}{\left(1-\sigma^{2}\right)\left(R d^{2}\right)}\left[\left((h-y)\left(h-\frac{y}{2}\right) t\right)-t^{3}\right]
onde
E = módulo de Young
\sigma \quad= coeficiente de Poisson
d, y, h= distâncias
R \quad= relação de distâncias
F= força
Qual é a dimensão t ?

Passo 1

O enunciado dá a lei
F=\frac{4\,E\,y}{\bigl(1-\sigma^{2}\bigr)\,\bigl(R\,d^{2}\bigr)}\Bigl[\,(h-y)\bigl(h-\tfrac y2\bigr)\,t \;-\;t^{3}\Bigr]
e pede a dimensão de t. Vamos usar análise dimensional, conhecendo que F é força, E é módulo de Young, \sigma e R são adimensionais, e d,y,h têm dimensão de comprimento.

Passo 2

Anotamos as dimensões básicas ( [M] massa, [L] comprimento, [T] tempo):
- [F]=M\,L\,T^{-2}
- [E]=\frac{[F]}{[A]}=\frac{M\,L\,T^{-2}}{L^{2}}=M\,L^{-1}\,T^{-2}
- [y]=[d]=[h]=L
- [\sigma]=[R]=1
- [t]=?

Passo 3

Dimensão do prefator \dfrac{4\,E\,y}{(1-\sigma^{2})(R\,d^{2})}:
[E\,y]=\bigl(M\,L^{-1}\,T^{-2}\bigr)\,(L)=M\,L^{0}\,T^{-2}, \quad [R\,d^{2}]=L^{2},
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\Bigl[\tfrac{E\,y}{R\,d^{2}}\Bigr] =\frac{M\,L^{0}\,T^{-2}}{L^{2}} = M\,L^{-2}\,T^{-2}.

Passo 4

Para que o produto desse prefator pela expressão em colchetes tenha dimensão de força M\,L\,T^{-2}, o colchete deve ter dimensão
\frac{[F]}{M\,L^{-2}\,T^{-2}} =\frac{M\,L\,T^{-2}}{M\,L^{-2}\,T^{-2}} = L^{3}.
Portanto
\bigl[\,(h-y)(h-\tfrac y2)\,t \;-\;t^{3}\bigr] = L^{3}.

Passo 5

Cada parcela do colchete deve ter a mesma dimensão. A primeira é
[(h-y)(h-\tfrac y2)\,t] = (L)\,(L)\,[t] = L^{2}\,[t],
e a segunda é
[t^{3}] = [t]^{3}.
Impondo L^{2}\,[t]=[t]^{3}=L^{3} resulta em
[t]^{3}=L^{3}\quad\Longrightarrow\quad [t]=L.

Resposta

A dimensão de t é comprimento, isto é, [t]=L.

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