Para o ouro, que possui uma estrutura CFC, determine:
a) o parâmetro de rede em nm .
b) o fator de empacotamento.
Dados:
átomos
c) a densidade volumétrica.
d) a DAL para a direção [101]
e) a DAP para o plano (002)
a) o parâmetro de rede em nm .
b) o fator de empacotamento.
c) a densidade volumétrica.
d) a DAL para a direção [101]
e) a DAP para o plano (002)
Passo 1
O enunciado pede várias quantidades para o ouro com estrutura cúbica de face centrada (CFC). Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
-
(raio atômico). -
(massa atômica). -
.
As perguntas são:
(a) determinar o parâmetro de rede em
;
(b) determinar o fator de empacotamento (APF, adimensional);
(c) determinar a densidade volumétrica (densidade do metal);
(d) calcular a DAL (densidade atômica linear) para a direção ;
(e) calcular a DAP (densidade atômica planar) para o plano .
(a) determinar o parâmetro de rede
(b) determinar o fator de empacotamento (APF, adimensional);
(c) determinar a densidade volumétrica (densidade do metal);
(d) calcular a DAL (densidade atômica linear) para a direção
(e) calcular a DAP (densidade atômica planar) para o plano
Passo 2
Calcular o parâmetro de rede
a partir do raio atômico
para uma CFC.
Explicação da relação: numa rede CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal da face tem comprimento
e ao longo dessa diagonal existem dois diâmetros atômicos (dois raios dos dois átomos que se tocam mais um pequeno alcance), resultando na relação
Aqui:
-
é o raio atômico (distância do centro do átomo à sua superfície). -
é o parâmetro de rede (lado do cubo primitivo da célula unitária).
Despejando
:
Agora substituo
:
Faço a conta (mostrando os passos aritméticos):
Passo 3
Calcular o fator de empacotamento (APF) da CFC e explicar a ideia.
O APF (atomic packing factor) é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos. Fórmula geral:
Para CFC:
- número de átomos por célula unitária:
(4 átomos efetivos). - volume de um átomo, aproximando por esfera:
. - volume da célula:
.
Logo
Como já temos
, substituo:
Portanto
Essa é uma expressão padrão para CFC. Avaliando numericamente:
Passo 4
Calcular a densidade volumétrica (massa por volume) usando a célula unitária.
Ideia e fórmula: densidade
é massa da célula dividida pelo volume da célula.
- massa da célula:
, onde átomos por célula, em , em átomos/mol. O resultado fica em gramas. - volume da célula
. Vou converter de para usando então .
Calculos passo a passo:
Massa da célula:
Faço a divisão (mostrar ordem de grandeza):
Volume da célula em
:
Converto para
:
Agora a densidade:
Observação simpática: esse valor bate com o valor conhecido do ouro (≈19,3 g/cm^3), ótimo sinal de consistência.
Passo 5
Calcular a DAL (densidade atômica linear) para a direção
.
Conceito: DAL (ou LD, linear density) para uma direção cristalográfica
é o número de centros atômicos ao longo de uma linha paralela àquela direção por unidade de comprimento (átomos por unidade de comprimento). Para calcular:
- encontrar o vetor de repetição mais curto ao longo de
dentro da rede: tem comprimento
- contar quantos centros atômicos estão localizados em posições ao longo desse segmento entre pontos de rede equivalentes. No segmento entre
e existem: - um átomo no canto em
(posição ), - um átomo no centro da face em
(posição ), - o canto em
é equivalente ao canto inicial da célula vizinha.
Considerando o período, há efetivamente 2 átomos por repetição ao longo desse comprimento.
- um átomo no canto em
Logo a DAL é
Agora numericamente com
:
Passo 6
Calcular a DAP (densidade atômica planar) para o plano
.
Conceito: DAP (ou PD, planar density) para um plano
é o número de centros atômicos que pertencem ao plano por unidade de área do plano. O plano
tem orientação normal ao eixo
(mesma orientação que
), mas corresponde a planos cuja distância interplanar é
. Para contar os átomos no plano específico situado em
, identifico as posições atômicas com coordenada
na célula:
Na CFC os centros de face com
são, por exemplo,
e
, e seus equivalentes periódicos. Se tomo a célula de área de superfície
(uma célula superficial para esse plano), existem quatro centros de face localizados nas bordas dessa superfície (um em cada aresta central), cada um compartilhado por duas células superficiais adjacentes. Assim a contribuição efetiva por célula superficial é
Portanto a DAP é
Numericamente, com
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)