Para o ouro, que possui uma estrutura CFC, determine:
a) o parâmetro de rede em nm .
b) o fator de empacotamento.
Dados:
\mathrm{R}_{\mathrm{Au}}=0,144 \mathrm{~nm}
\mathrm{A}_{\mathrm{Au}}=197 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
\mathrm{N}_{\mathrm{A}}=6,023 \times 10^{23} átomos / \mathrm{mol}
c) a densidade volumétrica.
d) a DAL para a direção [101]
e) a DAP para o plano (002)

Passo 1

O enunciado pede várias quantidades para o ouro com estrutura cúbica de face centrada (CFC). Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • \mathrm{R}_{\mathrm{Au}}=0,144\\ \mathrm{nm} (raio atômico).
  • \mathrm{A}_{\mathrm{Au}}=197\\ \mathrm{g/mol} (massa atômica).
  • \mathrm{N}_{\mathrm{A}}=6{,}023\times10^{23}\\ \text{átomos/mol}á.
As perguntas são:
(a) determinar o parâmetro de rede a em \mathrm{nm};
(b) determinar o fator de empacotamento (APF, adimensional);
(c) determinar a densidade volumétrica (densidade do metal);
(d) calcular a DAL (densidade atômica linear) para a direção [101];
(e) calcular a DAP (densidade atômica planar) para o plano (002).

Passo 2

Calcular o parâmetro de rede a a partir do raio atômico R para uma CFC.
Explicação da relação: numa rede CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal da face tem comprimento \sqrt{2}\,a e ao longo dessa diagonal existem dois diâmetros atômicos (dois raios dos dois átomos que se tocam mais um pequeno alcance), resultando na relação
4R=\sqrt{2}\,a.
Aqui:
  • R é o raio atômico (distância do centro do átomo à sua superfície).
  • a é o parâmetro de rede (lado do cubo primitivo da célula unitária).
Despejando a:
a=\frac{4R}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,R.
Agora substituo R=0,144\\ \mathrm{nm}:
a = 2\sqrt{2}\times 0{,}144\\ \mathrm{nm}.
Faço a conta (mostrando os passos aritméticos):
2\sqrt{2}\approx 2{,}8284271247,
a \approx 2{,}8284271247\times 0{,}144\\ \mathrm{nm}\approx 0{,}4072935\\ \mathrm{nm}.

Passo 3

Calcular o fator de empacotamento (APF) da CFC e explicar a ideia.
O APF (atomic packing factor) é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos. Fórmula geral:
\text{APF}=\frac{\text{volume total dos átomos na célula}}{\text{volume da célula}}.áéé
Para CFC:
  • número de átomos por célula unitária: n=4 (4 átomos efetivos).
  • volume de um átomo, aproximando por esfera: \dfrac{4}{3}\pi R^3.
  • volume da célula: a^3.
Logo
\text{APF}=\frac{4\cdot\left(\dfrac{4}{3}\pi R^3\right)}{a^3}=\frac{\dfrac{16}{3}\pi R^3}{a^3}.
Como já temos a=2\sqrt{2}\,R, substituo:
a^3=(2\sqrt{2}\,R)^3= (2\sqrt{2})^3 R^3 = 16\sqrt{2}\,R^3.
Portanto
\text{APF}=\frac{\dfrac{16}{3}\pi R^3}{16\sqrt{2}\,R^3}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.
Essa é uma expressão padrão para CFC. Avaliando numericamente:
\text{APF}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048\\ (\text{adimensional}).

Passo 4

Calcular a densidade volumétrica (massa por volume) usando a célula unitária.
Ideia e fórmula: densidade \rho é massa da célula dividida pelo volume da célula.
  • massa da célula: m_{\text{cél}} = n\cdot \dfrac{A}{N_A}é, onde n=4 átomos por célula, A em \mathrm{g/mol}, N_A em átomos/mol. O resultado fica em gramas.
  • volume da célula V_{\text{cél}}=a^3é. Vou converter a^3 de \mathrm{nm}^3 para \mathrm{cm}^3 usando 1\\ \mathrm{nm}=10^{-7}\\ \mathrm{cm} então 1\\ \mathrm{nm}^3=10^{-21}\\ \mathrm{cm}^3.
Calculos passo a passo:
Massa da célula:
m_{\text{cél}}=4\cdot\frac{197\\ \mathrm{g/mol}}{6{,}023\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}} =\frac{788}{6{,}023\times10^{23}}\\ \mathrm{g}.é
Faço a divisão (mostrar ordem de grandeza):
m_{\text{cél}}\approx 1{,}308\times10^{-21}\\ \mathrm{g}.é
Volume da célula em \mathrm{nm}^3:
a^3\approx(0{,}4072935\\ \mathrm{nm})^3\approx 0{,}0675606\\ \mathrm{nm}^3.
Converto para \mathrm{cm}^3:
V_{\text{cél}}=0{,}0675606\times10^{-21}\\ \mathrm{cm}^3=6{,}75606\times10^{-23}\\ \mathrm{cm}^3.é
Agora a densidade:
\rho=\frac{m_{\text{cél}}}{V_{\text{cél}}} \approx\frac{1{,}308\times10^{-21}\\ \mathrm{g}}{6{,}75606\times10^{-23}\\ \mathrm{cm}^3} \approx 19{,}36\\ \mathrm{g/cm^3}.éé
Observação simpática: esse valor bate com o valor conhecido do ouro (≈19,3 g/cm^3), ótimo sinal de consistência.

Passo 5

Calcular a DAL (densidade atômica linear) para a direção [101].
Conceito: DAL (ou LD, linear density) para uma direção cristalográfica [uvw] é o número de centros atômicos ao longo de uma linha paralela àquela direção por unidade de comprimento (átomos por unidade de comprimento). Para calcular:
  • encontrar o vetor de repetição mais curto ao longo de [101] dentro da rede: \vec{R}=a(1,0,1) tem comprimento
L = |\vec{R}|=a\sqrt{1^2+0^2+1^2}=a\sqrt{2}.
  • contar quantos centros atômicos estão localizados em posições ao longo desse segmento entre pontos de rede equivalentes. No segmento entre (0,0,0) e (1,0,1) existem:
    • um átomo no canto em t=0 (posição (0,0,0)),
    • um átomo no centro da face em t=\tfrac{1}{2} (posição (\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2})),
    • o canto em t=1 é equivalente ao canto inicial da célula vizinha.
      Considerando o período, há efetivamente 2 átomos por repetição ao longo desse comprimento L.
Logo a DAL é
\text{DAL}=\frac{\text{número de átomos por repetição}}{\text{comprimento da repetição}} =\frac{2}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{a}.úáçãçã
Agora numericamente com a\approx 0{,}4072935\\ \mathrm{nm}:
\text{DAL}=\frac{\sqrt{2}}{a}\approx\frac{1{,}41421356}{0{,}4072935}\\ \mathrm{nm^{-1}} \approx 3{,}472\\ \mathrm{átomos\;por\;nm}.á

Passo 6

Calcular a DAP (densidade atômica planar) para o plano (002).
Conceito: DAP (ou PD, planar density) para um plano (hkl) é o número de centros atômicos que pertencem ao plano por unidade de área do plano. O plano (002) tem orientação normal ao eixo z (mesma orientação que (001)), mas corresponde a planos cuja distância interplanar é d=\tfrac{a}{2}. Para contar os átomos no plano específico situado em z=\tfrac{a}{2}, identifico as posições atômicas com coordenada z=\tfrac{1}{2} na célula:
Na CFC os centros de face com z=\tfrac{1}{2} são, por exemplo, (\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}) e (0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}), e seus equivalentes periódicos. Se tomo a célula de área de superfície a^2 (uma célula superficial para esse plano), existem quatro centros de face localizados nas bordas dessa superfície (um em cada aresta central), cada um compartilhado por duas células superficiais adjacentes. Assim a contribuição efetiva por célula superficial é
4\times\frac{1}{2}=2\\ \text{átomos por área }a^2.áá
Portanto a DAP é
\text{DAP}=\frac{2}{a^2}\\ \text{(átomos por unidade de área)}.áá
Numericamente, com a\approx 0{,}4072935\\ \mathrm{nm}:
a^2\approx (0{,}4072935)^2\\ \mathrm{nm}^2\approx 0{,}165886\\ \mathrm{nm}^2,
\text{DAP}=\frac{2}{a^2}\approx\frac{2}{0{,}165886}\\ \mathrm{nm^{-2}}\approx 12{,}06\\ \mathrm{átomos\;por\;nm^2}.á

Resposta

(a) a\approx 0{,}4073\\ \mathrm{nm}
(b) \text{APF}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048
(c) \rho\approx 19{,}36\\ \mathrm{g/cm^3}
(d) \text{DAL}_{[101]}=\dfrac{\sqrt{2}}{a}\approx 3{,}472\\ \mathrm{átomos\;nm^{-1}}á
(e) \text{DAP}_{(002)}=\dfrac{2}{a^2}\approx 12{,}06\\ \mathrm{átomos\;nm^{-2}}á

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